空间曲面与曲线(II)

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1、空间曲面与空间曲线1.球面2.柱面3.锥面4.旋转曲面5.二次曲面：一、椭球面二、双曲面三、抛物面6.空间曲线11.球面22.柱面柱面的定义：柱面的准线、柱面的方向、柱面的母线柱面的方程曲线L在平面上的射影曲线；曲线L在平面上的射影柱面。3例1.分析方程表示怎样的曲面.的坐标也满足方程解:在xoy面上，表示圆C,沿曲线C平行于z轴的一切直线所形成的曲面称为圆故在空间过此点作柱面.对任意z,平行z轴的直线l,表示圆柱面在圆C上任取一点其上所有点的坐标都满足此方程,4定义1由平行于定方向且与空间一条定曲线相交的一族平行直线所产生的曲面叫做柱面,定方向叫做柱面的方向,

2、定曲线叫做柱面的准线,那族平行直线中的每一条直线，都叫做柱面的母线。QMPOxyzr5表示抛物柱面,母线平行于z轴;准线为xoy面上的抛物线.z轴的椭圆柱面.z轴的平面.表示母线平行于(且z轴在平面上)表示母线平行于机动目录上页下页返回结束6一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于x轴;平行于y轴;平行于z轴;准线xoz面上的曲线l3.母线柱面,准线xoy面上的曲线l1.母线准线yoz面上的曲线l2.母线机动目录上页下页返回结束73.锥面椭圆在平面x＝0或y＝0上的截口为过原点的两直线.可以证明,椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上.①方程8定义1通过一定点且与

3、定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫做锥面，这些直线都叫锥面的母线，那个定点叫做柱面的顶点，定曲线叫做锥面的准线。94.旋转曲面定义1一曲线绕着定直线l旋转一周所产生的曲面叫做旋转曲面，或称回转曲面。曲线叫做旋转曲面的母线，定直线l叫做旋转曲面的旋转轴，简称轴。M1°P0Oxyz旋转曲面的母线上任意点M1在旋转时形成一个圆，这个圆也就是通过M1点且垂直于轴l10M1°P0Oxyz的平面与旋转曲面的交线，称之为纬圆，或纬线。在通过旋转轴l的平面上，以l为界的每个半平面都与旋转曲面交成一条曲线，这条曲线在旋转过程中都能彼此重合，称之为旋转曲面的经线。来求旋转曲面

4、的方程。11建立yoz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为当绕z轴旋转时,若点给定yoz面上曲线C:则有则有该点转到12思考：当曲线C绕y轴旋转时，方程如何？13例1.求坐标面xoz上的双曲线分别绕x轴和z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解:绕x轴旋转绕z轴旋转这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为14一般规律：当坐标平面上的曲线绕此坐标平面里的一个坐标轴旋转时，为了求出这样的旋转曲面的方程，只要将曲线在坐标面里的方程保留和旋转轴同名的坐标，而以其它两个坐标平方和方根来代替方程中的另一坐标。例2将椭圆分别绕长轴（即x轴）与短轴（

5、即y轴）旋转，求所得旋转曲面的方程。15解：因为旋转轴是x轴，同名坐标是x，在方程中保留坐标x不变，用代替y,得到椭圆绕长轴（即x轴）的旋转曲面的方程为叫长形旋转椭球面。椭圆绕短轴（即y轴）旋转曲面方程为16这叫扁形旋转椭球面。长形旋转椭球面扁形旋转椭球面例3将双曲线17绕虚轴（即z轴）旋转的旋转曲面方程为叫做单叶旋转双曲面。绕实轴（即y轴）旋转的旋转曲面方程为叫做双叶旋转双曲面。单叶旋转双曲面18双叶旋转双曲面旋转抛物面19例4将抛物线绕它的对称轴旋转的旋转曲面方程为x2+y2=2pz叫做旋转抛物面。xyzO例5将圆绕z轴旋转，求所得旋转曲面的方程。解：旋转抛物面

6、20旋转曲面方程为即或叫做环面21环面225.二次曲面用一个二次方程表示的曲面，叫做二次曲面。前面介绍的柱面、锥面和旋转曲面都是二次曲面。这里再介绍三种典型的二次曲面：一、椭球面；二、双曲面（单叶双曲面和双叶双曲面）；三、抛物面（椭圆抛物面和双曲抛物面）。给出它们的标准方程，再讨论它们的简单性质与形状。23一、椭球面定义1在直角坐标系下，由方程所表示的曲面称为椭球面，或称椭圆面，这个方程称为椭球面的标准方程。其中a,b,c是任意正实数，通常a≥b≥c。由曲面的方程讨论曲面的一些简单性质。24（1）对称性当(x,y,z)满足方程时，(-x,y,z)也满足方程。这说明，

7、若点P(x,y,z)是椭球面上的点，则点P的关于yOz坐标平面的对称点P′(-x,y,z)也在椭球面上，所以，坐标平面yOz是对称平面，称为主平面。同样，其它两个坐标平面都是主平面。若点P(x,y,z)在椭球面上，则点(x,-y,-z)也在椭球面上，即x轴为椭球面的对称轴，称为主轴。25同样，y轴和z轴也是椭球面的主轴。若点P(x,y,z)在椭球面上，则点(-x,-y,-z)也在椭球面上，所以，原点是椭球面的对称中心，称为椭球面的中心。（2）范围对于椭球面上任一点(x,y,z),满足方程所以26因此，椭球面完全被封闭在一个长方体的内部，这个长方体由六个平面：x=