空间曲面与空间曲线

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1、§7.5空间曲面与空间曲线一曲面方程的概念二曲线方程的概念三二次曲面的截痕法1CH1_1曲面方程的定义如果曲面与三元方程有下述关系：（1）曲面上任一点的坐标都满足方程；上的点的坐标都不满足方程；（2）不在曲面那么，方程就叫做曲面的方程，就叫做方程的图形．而曲面一曲面方程的概念2CH1_解根据题意有所求方程为例1求与原点及的距离之比为的点的全体所组成的曲面方程.设是曲面上任一点，3CH1_根据题意有化简得所求方程解例2已知求线段面的方程.的垂直平分设是所求平面上任一点，4CH1_（1）球面根据题意有所求方程为特殊地：球心在原点时方程为设球心在点半径为下面建立

2、球面方程.2几种常见的曲面设是球面上任一点，(球面方程的标准式)5CH1_将标准方程展开得由此可见球面方程的特点1)是的二次方程2）的系数为1（或相等）3）不含项(球面方程的一般式)球面方程又可表示为6CH1_定义（2）柱面并沿定曲线所形成的曲面称为柱面.移动的直线柱面这条定曲线叫的准线，平行于定直线叫母线.柱面的动直线7CH1_下面建立母线平行于轴，准线为平面曲线的柱面方程。设为柱面上任意一点，过作平行轴的直线交平面曲线上的点因此将代入得柱面方程由于在平面曲线上，8CH1_从柱面方程看柱面的特征：只含而缺的方程系中表示母线平行于在空间直角坐标轴的柱面，只

3、含而缺的方程系中表示母线平行于面上在空间直角坐标曲线轴的柱面，其准线为只含而缺的方程系中表示母线平行于面上在空间直角坐标曲线轴的柱面，其准线为面上曲线其准线为9CH1_柱面举例母线平行于轴的椭圆柱面轴的平面母线平行于轴的抛物柱面母线平行于10CH1_定义一条平面曲线绕其所在平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.（3）旋转曲面线叫旋转曲面的轴．这条定直旋转轴11CH1_求由平面曲线绕轴旋转一周所得的旋转面方程。设旋转面上任意一点则是由平面的曲线绕上轴旋转而得的，一点将上式代入得方程面上曲线绕轴的旋转曲面方程.12CH1_同理：坐标面上的已知曲线绕

4、轴旋转一周的旋转曲面方程为坐标面上的已知曲线绕一周的旋转曲面方程为轴旋转13CH1_例3将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程．旋转双曲面绕轴旋转绕轴旋转面上双曲线分别绕轴和轴；①14CH1_旋转椭球面旋转抛物面②绕轴；面上椭圆③绕轴；面上抛物线15CH1_④面上直线圆锥面绕轴；16CH1_（4）锥面通过定点动直线沿定曲线移动所形成的曲面称为锥面，定点称为锥面的顶点，定曲线称为锥面的准线。称为锥面的母线，动直线17CH1_例4建立以椭圆为准线，坐标原点为顶点的锥面方程。解设点锥面上任意一点，过点的母线交椭圆于点由锥面方程为椭圆锥面18CH1

5、_空间曲线C可看作空间两曲面的交线.1空间曲线的一般方程二曲线方程的概念19CH1_例5方程组解表示圆柱面，表示平面，交线为椭圆.表示怎样的曲线？20CH1_2空间曲线的参数方程出发，以角速度轴旋转，同时又以线速度绕例6如果空间一点在圆柱面上从点沿平行轴的正方向上升（其中都是常数），于构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．那么点21CH1_取时间t为参数，解在面的投影为动点从点出发，经过t时间，运动到点,则，记即有22CH1_例7将曲线方程化为参数式方程。解将代入得参数式方程为:即23CH1_3空间曲线在坐标面上的投影消去变量后得：设空间曲线的一般方程：

6、称此曲面为曲线面的投影柱面。关于称曲线为曲线在面的投影曲线。24CH1_类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影.的投影柱面：消去得曲线关于面面上的投影曲线；的投影柱面：消去得曲线关于面面上的投影曲线.25CH1_例8求曲线解在面上的投影.消去变量后得关于的投影柱面在面上的投影为26CH1_例9解半球面和锥面的交线为一个圆面:.,)(34,2222面上的投影求它在锥面所围成和由上半球面设一个立体xoyyxzyxz+=--=27CH1_三二次曲面的截痕法二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之二次曲面．讨论二次曲面性状的截痕法：用坐标面和平行于坐标面的

7、平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．28CH1_1椭球面椭球面与平面的交线为椭圆同理与平面和的交线也是椭圆.29CH1_椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面球面30CH1_2双曲面单叶双曲面双叶双曲面31CH1_3抛物面（与同号）椭圆抛物面设，图形如下：32CH1_xzy0（与同号）双曲抛物面（马鞍面）设，图形如下：33CH1_