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1、1.2线性变换及其矩阵表示线性变换及其运算线性变换的矩阵表示特征值和特征向量1.线性变换及其运算(a)映射设S、S´是给定的两个非空集合，如果有一个对应法则σ，通过这个法则σ对于S中的每一个元素a，都有S´中一个唯一确定的元素a´与它对应,则称σ为S到S´的一个映射，记作:或。称a´为a在映射σ下的象，而a称为a´在映射σ下的原象，记作σ(a)＝a´，或若都有则称为单射；若都存在a∈S，s(a)=a’，则称为满射；既是单射又是满射的称为双射，或一一对应。设σ1,σ2都是集合S到集合S´的映射，若对S的每个元素a都有σ1
2、(a)=σ2(a)，则称它们相等，记作σ1=σ2。设σ是集合S到S1的映射，τ是集合S1到S2的映射，则映射的乘积ts定义为：设σ,τ,μ分别是集合S到S1，S1到S2，S2到S3的映射，则映射的乘积满足结合律：映射的乘积不满足交换律，即ts不一定等于st。从集合S到集合S的映射也称为变换。设V为数域K上线性空间，若变换满足：单位变换(恒等变换)：则称T是线性空间V上的线性变换。零变换：数乘变换：上述定义中的条件可以等价的写成：(b)线性变换例1考虑R2中把每个向量绕原点旋转q角的变换：这是一个线性变换。例2V=R3，
3、a∈V是非零向量，考虑把每个向量投影到a上的变换：这是一个线性变换。例3考虑V=Pn[x]中的微分变换：这是一个线性变换。例4考虑[a,b]上的所有连续函数构成的线性空间C[a,b]上的积分变换：这是一个线性变换。例5考虑V=Pn[x]∩C[a,b]，易有DJ(f(x))=f(x)，但是JD(f(x))=f(x)-f(a)。因此DJ≠JD。下列变换中，哪些是线性变换？3．在线性空间V中，非零固定.4．在 中，固定.2．在 中，1．在 中，5．复数域C看成是自身上的线性空间，6．C看成是实数域R上的线性空间，√×√√
4、××1.设T是V上的线性变换，2.线性变换保持线性组合及关系式不变，即若则有：3.线性变换把线性相关的向量组的变成线性相关的向量组，即若x1,x2,…,xr线性相关，则T(x1),T(x2),…,T(xr)也线性相关。但若T(x1),T(x2),…,T(xr)线性相关，x1,x2,…,xr未必线性相关。事实上，线性变换可能把线性无关的向量组变成线性相关的。设T1,T2是线性空间V的两个线性变换，定义它们的和为：T1+T2仍然是线性空间V上的线性变换。(c)线性变换的运算设T是线性空间V的线性变换，定义它的负变换为：(-
5、T)(x)=-T(x)。这也是一个线性变换。设T是线性空间V的线性变换，k∈K，定义数乘变换为：(kT)(x)=kT(x)。这也是一个线性变换。注：线性空间V上的全体线性变换所构成的集合对于线性变换的加法与数量乘法构成数域K上的一个线性空间。设T1,T2是线性空间V的两个线性变换，定义它们的乘积为：T1T2仍然是线性空间V上的线性变换。注：线性变换的乘积不一定满足交换律。例6设A,B∈Rn×n是两个给定的矩阵，定义Rn×n上的两个线性变换：T1(X)=AX，T2(X)=XB，则容易验证T1T2=T2T1。若定义：T1(
6、X)=AX，T2(X)=BX，则只有当AB=BA时，T1T2=T2T1。否则不成立。设T为线性空间V的线性变换，若有V上的变换S使得：TS=ST=Te，则称T为可逆变换，并称S为T的逆变换，记为S=T-1。1.可逆变换的逆变换仍然是线性变换。2.线性变换T可逆当且仅当T是一一对应。4.设x1,x2,…,xn是线性空间V的一组基，T是V上的线性变换，则T可逆当且仅当T(x1),T(x2),…,T(xn)也是V的一组基。3.可逆线性变换把线性无关的向量组变成线性无关的向量组。5.若T1,T2都是可逆变换，则设T为线性空间V
7、的线性变换，n是自然数，定义称之为T的n次幂。这仍然是线性变换。1.规定当n=0时，T0=Te(单位变换)。4.一般的，(TS)n≠TnSn。2.容易验证TmTn=Tm+n，(Tm)n=Tmn。3.当T可逆时，定义负整数次幂为：T-n=(Tn)-1。设T为线性空间V的线性变换，并设则变换也是线性变换，称f(T)为线性变换T的多项式。即线性变换的多项式满足加法和乘法交换律。1.在P[x]中，若h(x)=f(x)+g(x)，p(x)=f(x)g(x)，则2.对任意f(x),g(x)∈P[x]，有2.线性变换的矩阵表示(a)
8、线性变换在给定基下的矩阵表示设x1,x2,…,xn是n维线性空间V的一组基，T是V上的线性变换。对于V中的任意一个向量x，必存在数域K中的一组数k1,k2,…,kn使得从而有这表明，T(x)由T(x1),T(x2),…,T(xn)完全确定。设x1,x2,…,xn是n维线性空间V的一组基，T1,T2是V上的两个线性变换。容易证明，若
