线性变换及其矩阵.doc

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1、第二讲线性变换及其矩阵一、线性变换及其运算定义：设V是数域K上的线性空间，T是V到自身的一个映射，使得对于V中的任意元素x均存在唯一的yV与之对应，则称T为V的一个变换或算子，记为Tx＝y称y为x在变换T下的象，x为y的原象。若变化T还满足T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty)x,yV,k,lK称T为线性变换。[例1]二维实向量空间，将其绕原点旋转角的操作就是一个线性变换。[证明]可见该操作T为变换，下面证明其为线性变换，k，lT是线性变换。[例2]次数不超过的全体实多项式构成实数域上的一个维的线性空间，其基可选为

2、，微分算子是上的一个线性变换。[证明]显然对而言是变换，要证明满足线性变换的条件，k，l是上的线性变换。2.性质（1）线性变换把零元素仍变为零元素（2）负元素的象为原来元素的象的负元素（3）线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组[证明]线性变换T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty)（1）T(0)=T(0x)=0(Tx)=0（2）T(-x)=(-1)(Tx)=-(Tx)（3）元素组线性相关，即存在一组不全为零的数使则线性相关。[得证]应该注意，线性无关的元素组经过线性变换不一定再是线性无关的，变换后的情况与

3、元素组和线性变换有关。若线性变换将所有的元素组仍变换为线性无关的元素组，则称之为满秩的线性变换，其变换矩阵为满秩矩阵。3.线性变换的运算（1）恒等变换：（2）零变换：（3）变换的相等：、是的两个线性变换，，均有，则称＝（4）线性变换的和+：，（5）线性变换的数乘：，负变换：（6）线性变换的乘积：，（1）逆变换：，若存在线性变换使得，则称为的逆变换＝（2）线性变换的多项式：，并规定需要说明的是：1）也称为单位变换，它的矩阵表示为单位矩阵；2）对应的矩阵表示为零矩阵；3）和矩阵的乘积一样，线性变换的乘积不满足交换律；4）

4、不是所有的变换都具有逆变换，只有满秩变换才有逆变换，；5）恒等变换、零变换、线性变换的和、乘积多项式及逆变换（若存在）均为线性变换。二、线性变换的矩阵表示线性变换用矩阵表示，将抽象的线性变换转化为具体的矩阵形式。设是线性空间的一个线性变换，且是的一个基，n，存在唯一的坐标表示＝因此，要确定线性变换，只需确定基元素在该变换下的象就可以了。对于任意元素，在该基下，变换后的坐标表示为同时对比可知：＝即：1.定义：把称为在基下的矩阵。2.定理：设是的一个基，、在该基下的矩阵分别为、。则有（1）（2）（3）（4）推论1.设为纯

5、量t的m次多项式，为线性空间的一个线性变换，且在的基下的矩阵为，则其中推论2.设线性变换在的基下的矩阵为，元素在该基下的坐标为，则在该基下的坐标满足＝3.相似矩阵设在的两个基及的矩阵分别为和，且＝，则即和为相似矩阵。[证明]即定理：阶方阵和相似的充要条件是和为同一线性变换在不同基下的矩阵。[证明]必要性：已知和相似，即存在可逆矩阵使选取一个基，定义考虑可作为基，且和为同一线性变换在不同基下的矩阵。充分性的证明由相似矩阵定义的证明给出。三、线性变换及矩阵的值域和核1.定义：设是线性空间的线性变换，称为的值域；称为的核。

6、和均为的子空间。设为阶矩阵，称为矩阵的值域；为的核。、称为的秩和零度；、称为的秩和零度。2.定理：（1）（2）（3），为的列数。若是线性变换的矩阵，则=，=作业：P77－78，1、7