第二讲：数学建模的基本方法和步骤资料

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1、第二讲数学建模的基本方法和步骤数学建模面临的实际问题是多种多样的，建模的目的不同、分析的方法不同、采用的数学工具不同，所得模型的类型也不同，我们不能指望归纳出若干条准则，适用于一切实际问题的数学建模方法。下面所谓基本方法不是针对具体问题而是从方法论的意义上讲的。（注：用最初等的方法解决，越受人尊重）一数学建模的基本方法一般说来数学建模的方法大体上可分为机理分析和测试分析两种。面对于一个实际问题用哪一种方法建模，主要取决于人们对研究对象的了解程度和建模目的。如果掌握了一些内部机理的知识，模型也要求具有反映内部特征的物理意义

2、，建模就应以机理分析为主。而如果对象的内部机理规律基本上不清楚，模型也不需要反映内部特征，那么可以用测试分析。对于许多实际问题也常常将两种方法结合起来，用机理分析建立模型结构，用测试分析确定模型的参数。二数学建模的一般步骤建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与问题性质和建模的目的等有关。下面给出建模的一般步骤，如图1.2所示。⑴模型准备：了解实际背景，明确建模目的，搜索必要信息，弄清对象的主要特征，形成一个比较清晰的“问题”（即问题的提出）。情况明才能方法对，在这个阶段要深入调查研究，虚心向实际工作者请教，尽量掌握第

3、一手资料。⑵模型假设：根据对象的特征和建模目的，抓住问题的本质，忽略次要因素，作出必要的、合理的简化假设。对于建模的成败这是非常重要和困难的一步。假设不合理或太简单，会导致错误的或无用的模型；假设作得过分详细，试图把复杂对象的众多因素都考虑进去，会使你很难或无法继续下一步的工作。常常需要在合理与简化之间作出恰当的折衷，要不段积累经验，并注意培养和充分发挥对事物的洞察力和判断力。⑶模型的建立：根据假设，用数学的语言、符号描述对象的内在规律，得到一个数学结构。这里除了需要一些相关的专门知识外，还常常需要较为广阔的应用数学方面

4、的知识，要善于发挥想象力，注意使用类比法，分析对象与熟悉的其他对象的共性，借用已有的数学模型。建模时还应遵循的一个原则是尽量采用简单数学工具，因为你的模型总希望更多的人了解和使用，而不是只供少数专家欣赏。⑷模型求解：使用各种数学方法、数学软件和计算机技术对模型求解。⑸模型分析：对求解结果进行数学上的分析，如对结果进行误差分析，分析模型对数据的稳定性或灵敏性等。⑹模型检验：把求解和分析结果翻译回到实际问题，与实际现象、数据进行比较，检验模型的合理性与适用性。如果结果与实际不符，问题常常出现在模型假设上，应该修改或补充假设，

5、重新建模。这一步对于模型是否真的有用是非常关键的，要以严肃认真的态度对待。⑺模型应用：这与问题的性质、建模的目的以及最终结果有关，一般不属于本书讨论的范围。应该指出，并不是所有问题的建模都要经过这些步骤，有时各步骤之间的界限也不那么分明，建模时不要拘泥于形式上的按部就班。三数学建模的全过程数学建模的全过程可分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并且通过这些阶段完成从现实对象到数学模型，再从数学模型回到现实对象的循环，如图1.3所示。表述是根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题，即将现实问题“翻译”成抽象的数学问题，

6、属于归纳法。数学模型的求解选择适当的数学方法求得数学模型的解答，则属于演绎法。解释是将数学语言表述的数学模型的解答“翻译”回实际对象，给出分析、预报、决策或者控制的结果。最后，作为这个过程的最重要一环——检验，是用现实对象的信息检验得到的解答。图1.2也揭示了现实对象与数学模型的关系。一方面，数学模型是将现象加以归纳、抽象的产物，它来源于现实，又高于现实。另一方面，只有当数学建模的结果经受住现实对象的检验时，才可以用来指导实际，完成实践——理论——实践这一循环。四数学建模能力的培养建模可以看成一门艺术。艺术在某种意义下是

7、无法归纳出几条准则或方法的。要进行数学建模，建模能力的培养是非常重要的，对于能力的培养不应该有统一的模式和方法。这里我们提出以下几点建模对学生能力的培养：1、数学知识的积累。由于各门数学知识在数学建模过程中都可能用到，所以掌握数学知识自然越多越好。但掌握的数学知识不多，也可以进行数学建模。有很多数学模型是仅用初等数学理论建立的，而且我们提倡尽量用较简单的数学知识建模。在能达到建模目的的前提下，模型越简单越好。2、学好数学模型课，多看数学建模案例自然是不可少的3、留心各样的事物，培养自己随时随地主动站在数学的角度看问题，特

8、别要将自己始终置身于数学世界之中，用数学的思想审视一切。4、数学建模过程是创造性思维的过程，需要丰富的想象力和敏锐、深刻的洞察力。所谓想象力就是能对不同现象通过联想找出它们的联系和共同点而加以类比。所谓洞察力就是针对某一现象时，能很快地抓住现象的本质。分清层次，抓住其主要方面，并对解决问题的方法做出选择。5、兴趣是学