1.3 向量的内积,向量积与混合积

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1、2.2向量的内积、叉积与混合积教学目的与要求：通过本节学习使学生掌握向量的两种乘法：内积与叉积，能够熟练的计算它们，并了解向量的混合积。知识点：内积，叉积，混合积重点：内积及叉积的坐标表示式。难点：叉积的概念及混合积的几何意义。教学方式：以讲授为主。本节目的1.3向量的内积、叉积与混合积一、向量的内积1.实例向量的内积来源于物理和几何背景。考虑物理问题：解:所做功W=f1·sSFsF1=

2、F

3、·

4、S

5、cos(F,S)=FS.2.数量积的定义数量积也称为“点积”、“内积”.结论两向量的数量积等于其中一个向量的模

6、和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.3.内积的性质：证证特别地：4.数量积符合下列运算规律：（1）交换律：（2）分配律：（3）若为数：若、为数：设数量积的坐标表达式5.数量积的坐标表达式两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件为6.数量积的坐标表达式的应用解证在前面介绍的向量加法与减法时我们知道，两向量之和或差仍然是一个向量，但在介绍向量的数量积时却发现，不再是一个向量而是一个数了，因此，我们仍希望引入向量的某种“积”运算，使之结果仍为一个向量，构造的准则之一:有实际应用.二、两向

7、量的向量积（外积）引例.设O为杠杆L的支点,有一个与杠杆夹角为符合右手规则矩是一个向量M:的力F作用在杠杆的P点上,则力F作用在杠杆上的力1.定义定义向量方向:(叉积)记作且符合右手规则模:向量积,称引例中的力矩思考:右图三角形面积S＝3.关于向量积的说明：//证////特别地：向量积符合下列运算规律：（1）（2）分配律：（3）若为数：设向量积的坐标表达式向量积还可用三阶行列式表示//由上式可推出例如，解例4.已知三点角形ABC的面积解:如图所示,求三三、向量的混合积*三、向量的混合积1.定义已知三向量称数量

8、混合积.记作几何意义为棱作平行六面体,底面积高故平行六面体体积为则其2.混合积的坐标表示设3.性质(1)三个非零向量共面的充要条件是(2)轮换对称性:(可用三阶行列式推出)保持三矢的循环次序(逆时针),号可以与·号互换而混合积不变.例6.已知一四面体的顶点4),求该四面体体积.解:已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的故例7.证明四点共面.解:因故A,B,C,D四点共面.解例8向量的数量积向量的向量积向量的混合积（结果是一个数量）（结果是一个向量）（结果是一个数量）（注意共线、共面的条件）四、小结加法

9、数乘封闭性内积·基本定义运算法则齐次性对称性线性本身内积非负性向量模

10、

11、向量三维向量空间直角坐标系空间中点(x,y,z)xiyjzk一种内积向量间夹角方向余弦与方向角向量在轴上的投影垂直关系数量积·性质分配律交换律平行关系平面三角形面积计算平行四边形面积计算=0

12、

13、

14、

15、向量积基表示Projuu0//u轴

16、

17、u0

18、

19、=1·u0设1.向量运算加减:数乘:点积:叉积:公式、性质小结混合积:2.向量关系:备用题1.已知向量的夹角且解：解三角形ABC的面积为解