闭区间连续函数的性质(I)

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1、第九节　闭区间上连续函数的性质一、最大值和最小值定理二、介值定理三、一致连续性定理四、小结　思考题一、最大值和最小值定理定义:例如,定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.你能举到反例吗？定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.证f(x)在开区间连续f(x)有间断点二、介值定理定义:几何解释:几何解释:MBCAmab证由零点定理,推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.例2证因此方程在(-3,0),

2、(0,1),(1,2)内至少各有一根．又因为三次方程至多只有三个根，因此这三个根都是实根，并且都在(-3,2)内．例３.证明方程ln(1+ex)=2x至少有一个小于1的正根.证记f(x)=ln(1+ex)–2x,知f(x)在[0,1]上连续.且f(0)=ln2>0,f(1)=ln(1+e)–2=ln(1+e)–lne2<0由定理1,至少存在一点x0(0,1),使得故方程ln(1+ex)=2x至少有一个小于1的正根.例4证由零点定理,三、一致连续性定理定义注：f(x)在I上一致连续　　　在I上连续；但反之不一定成立。定理５（一致连续性定理）闭区间上的

3、连续函数一定一致连续．例６　证明f(x)=1/x在(0,1]内连续，但不是一致连续．证f(x)在(0,1]内有定义，由初等函数的连续性知f(x)在(0,1]内连续．下证f(x)在(0,1]内不一致连续：四、小结　思考题五个定理有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理；一致连续性定理注意1．闭区间；2．连续函数．这两点不满足上述定理不一定成立．解题思路1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;思考题下述命题是否正确？思考题解答不正确.例函数练习题