闭区间上连续函数的性质(I)

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1、高等数学电子教案郑州轻工业学院数学教研室二00一年七月黄松奇绪论课程名称高等数学计划学时56+108=164考核形式考试（4+7=11学分）课堂纪律作业问题答疑辅导学习方法真、苦、巧、活课前预习、重点听讲、简记笔记、整理咀嚼、后作练习参考书目＜工科数学分析基础＞马知恩等编（高教出版社）＜高等数学释疑解难＞工科数学课委会编（高教出版社）＜高等数学辅导＞盛祥耀等编（清华大学出版社）＜高等数学解题方法及同步训练＞同济大学编（同济大学出版社）＜高等数学习题课教程＞黄松奇等编（气象出版社）我们这门课程叫高等数学，它的

2、内容包括一元和多元微积分学，无穷级数论和作为理论基础的极限理论，以及作为一元微积分学的简单应用——常微分方程。由于构成它的主体是一元函数微积分学，所以有时又称为微积分。17世纪（1763年）Descartes建立了解析几何，同时把变量引入数学，对数学的发展产生了巨大的影响，使数学从研究常量的初等数学进一步发展到研究变量的高等数学。微积分是高等数学的一个重要的组成部分，是研究变量间的依赖关系——函数的一门学科，是学习其它自然科学的基础。高等数学研究的主要对象是函数，主要研究函数的分析性质（连续、可导、可积等）

3、和分析运算（极限运算、微分法、积分法等）。那么高等数学用什么方法研究函数呢？这个方法就是极限方法，也称为无穷小分析法。从方法论的观点来看，这是高等数学区别于初等数学的一个显著标志。由于高等数学的研究对象和研究方法与初等数学有很大的不同，因此高等数学呈现出以下显著特点：概念更复杂理论性更强表达形式更加抽象推理更加严谨因此在学习高等数学时，应当认真阅读和深入钻研教材的内容，一方面要透过抽象的表达形式，深刻理解基本概念和理论的内涵与实质，以及它们之间的内在联系，正确领会一些重要的数学思想方法，另一方面也要培养抽象

4、思维和逻辑推理的能力。学习数学，必须做一定数量的习题，做习题不仅是为了掌握数学的基本运算方法，而且也可以帮助我们更好地理解概念、理论和思想方法。但我们不应该仅仅满足于做题，更不能认为，只要做了题，就算学好了数学。高等数学中几乎所有的概念都离不开极限，因此极限概念是高等数学的重要概念，极限理论是高等数学的基础理论，极限是高等数学的精华所在，是高等数学的灵魂。因此很好地理解极限概念是学习好微积分的关键，同时也是从初等数学迈入高等数学的一个重要阶梯。极限是研究在指定的过程中某变量的变化趋势，这里所讲的变化趋势有其

5、明确的含义：不管所指定的变化过程多么复杂，我们所关心的仅仅是变量变化的终极目标，若这个终极目标存在，就称之为变量的极限本章我们首先介绍极限理论的基本概念、运算和性质，然后讨论函数的连续性重点极限概念，无穷小与极限的关系，极限运算法则，两个重要极限，连续概念，初等函数的连续性，间断点及其分类难点极限概念及求极限的方法技巧基本要求①能准确叙述并深刻理解极限定义，明确其几何意义，会用定义验证极限②正确理解无穷小量及其与极限的关系③牢固掌握极限运算法则，极限的性质，尤其是函数极限的保号性质④理解极限存在准则，熟记两

6、个重要极限及其证明方法，灵活地运用它们及各种变形公式求极限⑤正确理解连续概念，理解间断点的分类⑥理解初等函数的连续性，掌握闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质闭区间上的连续函数有着十分优良的性质，这些性质在函数的理论分析、研究中有着重大的价值，起着十分重要的作用。下面我们就不加证明地给出这些结论，好在这些结论在几何意义是比较明显的。一、最大值和最小值定理定义:例如,定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定

7、理不一定成立.定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.证二、介值定理定义:几何解释:证由零点定理,abABMmC几何解释:例1证由零点定理,推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.例2证由零点定理,例3证由零点定理知总之注①方程f(x)=0的根函数f(x)的零点②有关闭区间上连续函数命题的证明方法10直接法：先利用最值定理，再利用介值定理20间接法（辅助函数法）：先作辅助函数，再利用零点定理辅助函数的作法（1）将结论中的ξ(或x0或c)改写成x（2）移项使右边为0，

8、令左边的式子为F(x)则F(x)即为所求区间一般在题设中或要证明的结论中已经给出，余下只须验证F(x)在所讨论的区间上连续，再比较一下两个端点处的函数值的符号，或指出要证的值介于F(x)在所论闭区间上的最大值与最小值之间。三、小结四个定理有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.注意1．闭区间；2．连续函数．这两点不满足上述定理不一定成立．解题思路1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;2.辅助函数法: