随机变量函数的分布(I)

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1、§2.4随机变量函数的分布在实际问题中，不仅要研究随机变量，而且还要研究随机变量的函数，例如在分子物理学中已知分子的速度V是一个随机变量，这时分子的动能就是一个随机变量函数.下面就研究如何根据随机变量的分布列（或联合分布列）或分布密度（联合密度）来求随机变量函数的分布列.一、一维随机变量函数的分布1．一维离散型随机变量函数的分布设g(x)是定义在随机变量ξ的一切可能取值A的集合上的函数，这样随机变量η，当ξ取值的集合上的函数，这样随机变量时，它的取值为y=g(a),称η为随机变量ξ的函数，记为

2、η=g(ξ).设ξ为离散型随机变量，则η=g(ξ)也为离散型随机变量。若ξ的分布列为，i=1，2，3，…，现求η=f(ξ)的分布列。若随机变量取不同的值时，随机变量函数η=g(ξ)也取不同的值，ｉ=1，2，3，…，则η的分布列.例2.4.1设ξ的分布列为求η=2ξ+1.解：η的可能取值为1,3,5,7,9,11,它们互不相同，则η的分布列为ξ012345Pξ1357911P2）若ξ取不同的时，而函数的取值η中有相等的，则应把那些相等的值分别合并，并根据概率的可加性把对应的概率相加，就得到η的分布列.不妨设η的可能

3、取值为，则，即为η的分布列.例2.4.2设ξ的分布列为求η=的分布列.解：η的可能取值为0，1，4，9它们有相同的.则将它的所对应的概率相加得η的分布列为ξ012345Pξ0149P2．二维离散型随机变量函数的分布列设()是一个二维离散型变量，是实变量x和y的单值函数，这时仍是一个一维的离散型随机变量.设可能取值为：令则有例2.4.2设ξ和η是两个独立的随机变量，它们分别服从参数为和的Poisson分布，求的分布列.解：由ξ与η的独立性可知此例说明了Poisson分布对加法具有封闭性.通常称为该分布

4、具有可加性.类似地可以证明二项分布也是一个具有可加性的分布，即若ξ，η是两个独立的随机变量，且,则.例2.4.4设ξ与η为独立分布的离散型随机变量，其分布列为：求的分布列.解：=二、连续型随机变量函数的分布求离散型随机变量函数的分布是很简单的事.一般地，连续型随机变量的函数不一定连续型随机变量.下面我们主要讨论连续型随机变量还是连续型随机变量的情形.1.一维连续型随机变量函数的分布设已知ξ的分布函数或概率密度函数，则随机变量函数的分布函数可按如下方法求得：先求η的分布函数，其中.而常常可用ξ得分布函

5、数来表达或用其概率密度函数的积分表达：再求η的密度函数，通过对η的分布函数求导，求出η的密度函数.这种求随机变量函数分布的方法被称为分布函数法.例2.4.5设随机变量ξ的密度函数为，求的密度函数.解:先求η的分布函数，对η的分布函数求导，得到η的密度函数注意到0

6、这时它的反函数h(y)也是严格单调增函数，且记，这也意味着仅在区间取值，于是，当yb时，当a≤y≤b时，由此得η的密度函数为同理可证，当y=g(x)严格单调递减函数时，结论也成立.但此时要注意，故要加绝对值符号，这时▲利用这个定理，容易得到下面几个有用的结论.定理2.4.2设随机变量，则当时，有也服从正态分布.证明当a>0时，是严格增函数，仍在上取值，其反函数为，由定理2.4.1可得这就是正态分布的密度函数.同理可求得，当a<0时，有，这是正态分布的密度函数.这个定理表明：正态变量的线性函数仍为正

7、态变量，若取则服从标准正态分布，此即上一节定理2.3.1.例2.4.6设随机变量ξ服从正态分布N(0,4)，试求η=-ξ的分布.解：有定理2.4.2可知η仍是正态变量.它的分布为N(0,4).这表明ξ与-ξ有相同的分布，但这两个随机变量是不想等的，所以我们要明确，分布相同与随机变量相等是两个完全不同的概念.定理2.4.3若ξ的分布函数为严格单调增的连续函数，其反函数存在，则服从[0,1]上的均匀分布U[0,1].证明由于分布函数仅在区间[0,1]上取值，故当y<0时，由是不可能事件，所以；故当时，有当y≥1

8、时，因为是必然事件，所以于是，的分布函数是这正是[0,1]上的均匀分布的分布函数，所以，服从[0,1]上的均匀分布U[0,1].注意，本例中的结论在计算机模拟中有重要的应用.★定理2.4.1在使用时比较方便，但要求的条件“g(x)严格单调，反函数连续可微”很强，有些场合下无法满足这个条件，例如就无法满足条件.对于无法满足定理2.4.1条件的情况，可以直接利用