随机变量的函数及其分布(I)

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1、第六章随机变量的函数及其分布一维随机变量的函数及其分布二维随机变量的函数的分布6.1一维随机变量的函数及其分布在分析问题时，经常要用到由一些随机变量经过运算或变换而得到的某些新变量—随机变量的函数，它们也是随机变量.引言随机变量的函数的分布:若X是随机变量，求Y=g(X)的分布(其中y=g(x)是x的一个实值函数).6.1一维随机变量的函数及其分布设X为离散型随机变量，则Y=g(X)一般也是离散型随机变量。一、离散型随机变量X的分布律为Y=g(X)P(Y=g(xi))g(x1)g(x2)…g(xi)…p1p2…pi…g(x)是一个已知函数，Y=g(X)是随机

2、变量X的函数，则随机变量Y的分布律为XPx1x2…xi…p1p2…pi…6.1一维随机变量的函数及其分布一、离散型随机变量一般地，我们先由X的取值xi，i=1，2，…求出Y的取值yi=g(xi)，i=1，2…①如果诸yi都不相同，则由P{Y=yi}=P{X=xi}可得Y的分布律；②如果诸yi中有某些取值相同，则把相应的X的取值的概率相加。注：6.1一维随机变量的函数及其分布一、离散型随机变量例:设离散型随机变量X的分布律为X-10125/2P1/51/101/103/103/10求(1)Y=X-1;(2)Y=-2X;(3)Y=X2的分布律6.1一维随机变量

3、的函数及其分布一、离散型随机变量P1/51/101/103/103/10X-10125/2解:由X的分布律可得下表X-1-2-1013/2-2X20-2-4-5X2101425/46.1一维随机变量的函数及其分布一、离散型随机变量(1)Y=X-1的分布律为Y-2-1013/2P1/51/101/103/103/10(2)Y=-2X的分布律为Y20-2-4-5P1/51/101/103/103/10(3)Y=X2的分布律为Y01425/4P1/103/103/103/106.1一维随机变量的函数及其分布一、离散型随机变量例设求的分布律解：Y的分布律X-112P

4、1/62/63/6Y-4-1P1/21/26.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量设X为连续型随机变量，其概率密度函数为fx(x)，g(x)是一个已知的连续函数，Y=g(X)是随机变量X的函数，考虑求出Y的分布函数FY(y)及密度函数fY(y).1．一般方法可先求出Y的分布函数FY(y)：因为FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}，设Ig={x

5、g(x)≤y}则再由FY(y)进一步求出Y的概率密度6.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量解例：设随机变量X服从区间(0，1)上的均匀分布.试求Y=X2的密度函数.当y<0时,P(X2≤y

6、)=0于是Y分布函数为因此当y≥0时,P(X2≤y)=6.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量解例：设随机变量X服从正态分布，X~N(0，1)，试求随机变量函数Y=

7、X

8、的密度函数X的密度函数为于是Y分布函数为因此6.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量当函数y=g(x)可导且为严格单调函数时，我们有下面一般结果设随机变量X具有概率密度fX(x)，又设函数g(x)单调（恒有g(x)>0或恒有g(x)<0)，且处处可导，则Y=g(x)的概率密度为定理其中x=h(y)为y=g(x)的反函数，2.特殊方法6.1一维随机变量的函数及其分布二、

9、连续型随机变量证：我们只证g(x)>0的情况。此时g(x)在(-∞,+∞)严格单调增加，它的反函数h(y)存在，且在(α，β)严格单调增加，可导，现在先来求Y的分布函数FY(y)。因为Y=g(X)在(α，β)取值，故当y≤α时，FY(y)=P{Y≤y}=0；当y≥β时，FY(y)=P{Y≤y}=1；当α0(或恒有g

10、(x)<0)，此时若g(x)<0,同理可证6.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量例:设随机变量XN(μ，σ2),试证明X的线性函数Y=kX+b(k≠0)也服从正态分布。证明：X的概率密度为现在y=g(x)=kx+b，由这一式子解得x=h(y)=(y-b)/k由定理得Y=kX+b的概度密度为6.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量所以Y=kx+b~N(kμ+b,k22)特别，在上例中取k=1/,b=-μ/得6.1一维随机变量的函数及其分布二、连续型随机变量(一班进度)解例：设随机变量X服从参数λ=1的指数分布，求随机变量函数

11、Y=eX的密度函数由于X服从参数为1的指数分布，因此