随机变量的分布函数(I)

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1、随机变量的分布函数1.定义:设X是任意一个随机变量,称函数F(x)=P(X≤x),－∞＜x＜＋∞为随机变量X的分布函数.(1)0≤F(x)≤1,－∞＜x＜＋∞,(2)F(x)是x的单调不减函数;(3)(4)F(x)有至多可列个间断点,且在间断点处右连续,即:F(x+0)=F(x)(5)P(aa)=1-P(X≤a)=1-F(a);P(X=a)=F(a)-F(a-0)2.分布函数的性质:一、分布函数例1.设随机变量X服从参数为0.7的

2、0-1分布,即:X01P0.30.7,求X的分布函数.解:(1)当x<0时,=0(2)当0≤x<1时,=P(X=0)=0.3(3)当1≤x时,=P(X=0)+P(X=1)=13.离散型随机变量X的分布函数离散型随机变量X的分布函数的性质(1)分布函数是分段函数,分段区间是由X的取值点划分成的左闭右开区间;(2)函数值从0到1逐段递增,图形上表现为阶梯形跳跃递增;(3)函数值跳跃高度是x取值区间中新增加点的对应概率值;(4)分布函数是右连续的；X的分布函数为:分布函数图形如下:0.3xF(x)110

3、例2.设X的分布函数为求X的概率分布及P(1-2),P(1

4、)=7/107/10+7/307/10+7/30+7/120x<11≤x<22≤x<33≤x<44≤x01(3)P(X=3.5)=0P(X>-2)=1-P(X≤-2)=1-F(-2)=1或P(X>-2)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=1P(1

5、图:分析:F(-2)==0F(1)==2/3F(3)==1-12-213F(1)xf(x)F(3)所以,(1)x<-1时,F(x)==0(2)-1≤x<2时,F(x)=(3)2≤x时,F(x)==1xF(x)-11210可见:(1)F(x)为从0到1单调递增的连续函数;(2)F(x)为分段函数,区间划分与f(x)的区间划分相同,区间划分点可以属于该点左右的任何一个区间.X的分布函数为:分布函数图形如下:(3)P{a

6、.连续型随机变量的分布函数的性质:(1)F(x)是(-∞,+∞)上的连续函数;(2)P(X=x)=F(x)-F(x-0)=0;由此可得解:(1)x<0时,F(x)==0(2)x≥0时,F(x)=例5.设随机变量X服从参数为的指数分布，求X的分布函数。例6.设连续型随机变量X的分布函数为求:(1)A;(2)P(0.3

7、0.4(3)f(x)==0x<02x0≤x<101≤x即:(4)f(x)=变上限的定积分公式两种类型的比较:连续型1.概率密度X~f(x):P(aa)=1-F(a);P(X=a)=F(a)-F(a-0)4.P(x∈A)=5.F(x)有可列个间断点,且右连续5.F(

8、x)连续,且f(x)=P(X=a)=0P(X=xi)=F(xi)-F(xi-0)课堂练习1.设X~,求F(x).2.设X~,求(1)P(-23);(2)P(X≤2)(3)f(x)4.已知连续型随机变量X的分布函数为F(x)=A+Barctanx,求:(1)A,B;(2)X的概率密度f(x).5.（934）设X~f(x)，且f(-x)=f(x)，F(x)是X的分布函数，则对任意实数a，有()①F(-a)=1-②F(-