隐函数及由参数方程所确的

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1、第四节　隐函数及由参数方程所　确定的函数的微分法一、隐函数的微分法二、由参数方程所确定的　　函数的微分法第二章　导数与微分三、对数微分法一、隐函数的微分法例1设方程x2+y2=R2(R为常数)确定函数y=y(x)，解在方程两边求微分，d(x2+y2)=dR2，即2xdx+2ydy=0.由此，当y0时解得或例2设方程y+x–exy=0确定了函数y=y(x)，解方程两边求微分，得d(y+x–exy)=d0，即dy+dx-dexy=0，dy+dx–exy(xdy+ydx)=0.当1-xexy0时，解得即例3求曲线x

2、2+y4=17在x=4处对应于曲线上的点的切线方程.解方程两边求微分，得2xdx+4y3dy=0，得即对应于x=4有两个纵坐标，这就是说曲线上有两个点P1(4,1)和P2(4,-1).将x=4代入方程，得y=1.在P1处的切线斜率y

3、(4,1)=-2，y–1=-2(x-4)即y+2x–9=0在点P2处的切线方程为y+1=2(x-4)，即y-2x+9=0在P2处切线的斜率y

4、(4,-1)=2.所以，在点P1处的切线方程为补证反三角函数的导数公式：设y=arcsinx，则x=siny，两边对x求微分，得dx=c

5、osydy，≤≤cosy取正号，二、由参数方程所确定的函数的微分法参数方程，它的一般形式为对方程②两边求微分，得①②dy=f(t)dt，同样对方程①两边求微分，得dx=(t)dt，③④即例4设参数方程(椭圆方程)确定了函数y=y(x)，解dx=-asintdt，dy=bcostdt，所以解与　对应的曲线上的点为dy=asintdt，dx=a(1–cost)dt，例5求摆线(a为常数)在对应于　时曲线上点的切线方程.点P处的切线方程为所以例6设炮弹与地平线成a角，初速为v0射出，如果不计空气阻力，以发射点为原

6、点，地平线为x轴，过原点垂直x轴方向上的直线为y轴(如图).由物理学知道它的运动方程为求(1)炮弹在时刻t时的速度大小与方向，(2)如果中弹点与以射点同在一水平线上，求炮弹的射程.yOx中弹点解(1)炮弹的水平方向速度为炮弹的垂直方向速度为yOx中弹点VxVy所以，在t时炮弹速度的大小为它的位置是在t时所对应的点处的切线上，且沿炮弹的前进方向，其斜率为(2)令y=0，得中弹点所对应的时刻三、对数微分法解两边取对数，得两边求微分，例7设3所以例8设y=(tanx)x，求y.解lny=xln(tanx)=x(lns

7、inx-lncosx)所以