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高等数学第04章_不定积分习题详解

'高等数学第04章_不定积分习题详解'
第四章 不定积分习题详解 1 第四章 不定积分 习 题 4-1 1.求下列不定积分: (1)解:Cxxxxxxxx x ?????? ?? ? 2 5 2 3 2 1 22d)5(d)5 1 ( (2)解:??x xx d)32( 2 C xxx ?? ? ?? 3ln2 9 6ln 62 2ln2 4 (3)略. (4) 解: ??? ?? ? ?? ? xxx x xx x d) 1(cscd 1 1 d)cot 1 1 ( 2 2 2 2 =Cxxx???cotarcsin (5) 解:?x xx d210 3 Cxx x xxx ???? ?? 80ln 80 d80d810 (6) 解:x x d 2 sin 2 ? =Cxxxx??????sin 2 1 2 1 d)cos1 ( 2 1 (7)? ? x xx x d sincos 2cos Cxxxxxx xx xx ?????? ? ? ? ?? cossind)sin(cosd sincos sincos 22 (8) 解:?x xx x d sincos 2cos 22?? ?? ? ?x xx x xx xx d) cos 1 sin 1 (d sincos sincos 2222 22 Cxx????tancot (9) 解: ??? ???xxxxxxxxxdtansecdsecd)tan(secsec 2 ?Cxx??sectan (10) 解:},, 1max{)(xxf?设 ? ? ? ? ? ? ??? ??? ? 1, 11,1 1, )( xx x xx xf则. 上连续在),()(????xf?, )(xF则必存在原函数, ? ? ? ? ? ? ? ?? ???? ???? ? 1, 2 1 11, 1, 2 1 )( 3 2 2 1 2 xCx xCx xCx xF须处处连续,有又)(xF? ) 2 1 (lim)(lim 1 2 1 2 1 CxCx xx ???? ?? ???? ,, 2 1 1 12 CC?????即 第四章 不定积分习题详解 2 )(lim) 2 1 (lim 2 1 3 2 1 CxCx xx ??? ?? ?? ,,1 2 1 23 CC???即 , 1 CC ?联立并令.1, 2 1 32 CCCC???+可得 . 1,1 2 1 11, 2 1 1, 2 1 }, 1max{ 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ????? ???? ? ? xCx xCx xCx dxx故 2. 解:设所求曲线方程为)(xfy ?,其上任一点),(yx处切线的斜率为 3 d d x x y ?,从而 ? ???Cxxxy 43 4 1 d 由0)0(?y,得0?C,因此所求曲线方程为 4 4 1 xy ?. 3.解:因为 xxxcossinsin 2 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ,xxxsincoscos 2 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? xxxxcossin2sin 2 1 2cos 4 1 ?? ? ? ? ? ? ? ?? 所以x 2 sin 2 1 、 x 2 cos 2 1 ?、 x2cos 4 1 ?都是xxcossin的原函数. 习 题 4-2 1.填空. (1) 2 1 x xd = d( x 1 ? + C) (2)x x d 1 = d(xln+ C) (3)xexd = d( x e+ C) (4) xxdsec2 = d(xtan+ C) (5)xxdsin = d(xcos?+ C) (6) xxdcos = d(xsin+ C) (7)x x d 1 1 2 ? = d(xarcsin+ C) (8) x x x d 1 2 ? = d( 2 1x?+ C) (9)xxxdsectan = d(xsec+ C) (10) x x d 1 1 2 ? = d(xarctan+ C) 第四章 不定积分习题详解 3 (11)x xx d ) 1( 1 ? = d(2xarctan+ C) (12) xxd = d( 2 2 x + C) 2.求下列不定积分: (1) 解:? ? x x x d 4 2 )4d()4( 2 1 ) 2 4 d( 4 1 2 2 1 2 2 2 ??? ? ? ? ?? ? xx x x ?CxCx?????4)4( 2 2 1 2 (2) 解:x x x d ln 4 ? C x xx???? 5 ln )d(lnln 5 4 (3) 解:?x x e x d 2 1 Ce x e xx ?????? 11 ) 1 d( (4) 解:???xeee xxx d)22( 32 Ceeeeee xxxxxx ????????2 2 1 3 1 )d()22( 4332 (5) 解:? ? 2 94 d x x C x x x x x ?? ? ? ? ? ?? 2 3 arcsin 3 1 ) 2 3 (1 ) 2 3 d( 3 1 ) 2 3 (12 d 22 (6) 解:x xx x d )ln( ln1 2? ? C xx xx xx ????? ln 1 )lnd( )ln( 1 2 (7) 解:x xxx d lnlnln 1 ? 11 d(ln )d(lnln )ln|lnln| ln lnlnlnln xxxC xxx ???? ?? (8) 解:? ? ? x ee xx d 1 Cee e xx x ?? ? ??arctan)d( 1 1 2 (9)解: 222 222 11111 d()(12)12 242 121212 x xdxdxxC xxx ? ??? ??? ??? ??? ??? (10)解: 322 2 222 133 dd 3323 xxx xx xdx xxx ?? ?? ??? ??? 2222 2 13113 1(3)ln(3) 22 322 dxd xxxC x ??????? ? ?? (11)解: 222 232 dd3d 949494 xx xxx xxx ?? ?? ??? ??? 2 22 1231 dd(94) 38 94 2 1 3 x x x x ??? ? ?? ?? ? ?? ?? 2 23 arcsin94 34 x xC???? 第四章 不定积分习题详解 4 (12)解: 2 11111 ddd 2(2)(1)321 xxx xxxxxx ?? ??? ?? ?????? ?? ??? 12 ln 31 x C x ? ?? ? (13)解: 2 111 sin ()d(1cos2())cos2() 2() 224 tttdtdttdt???????? ? ???????? ???? 11 sincos2() 24 ttC?? ? ???? (14)解: 33 322 1111 dddcos (arccos )(arccos ) (arccos )11 xxarcx xx xxx ?? ? ?? ??? 2 1 (
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