导数及其应用(1)答案

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1、导数及其应用（1）答案例1、(2)解y′=3(ax－bsin2ωx)2(a－bωsin2ωx)(3)y′=f′()变式1、解(1)(2)例2、解(1)当x=1时Sn=1+2+3+…+n=n(n+1);当x≠1时，∵x+x2+x3+…+xn=,两边都是关于x的函数，求导得(x+x2+x3+…+xn)′=()′即Sn=1+2x+3x2+…+nxn－1=(2)∵(1+x)n=1+Cx+Cx2+…+Cxn,两边都是关于x的可导函数，求导得n(1+x)n－1=C+2Cx+3Cx2+…+nCxn－1,令x=1得，n·2n－1=C+2C+3C+…+nC,即Sn=C+2C+…+nC=

2、n·2n－1变式2、解(1)当x=1时，Sn=12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1),当x≠1时，1+2x+3x2+…+nxn-1=,两边同乘以x,得x+2x2+3x2+…+nxn=两边对x求导，得Sn=12+22x2+32x2+…+n2xn-1=例3、解由l过原点，知k=(x0≠0),点(x0,y0)在曲线C上，y0=x03－3x02+2x0,7∴=x02－3x0+2y′=3x2－6x+2,k=3x02－6x0+2又k=,∴3x02－6x0+2=x02－3x0+2，2x02－3x0=0,∴x0=0或x0=，由x≠0,知x0=∴y0=()3－3()

3、2+2·=－∴k==－∴l方程y=－x切点(，－)变式3、或例4、（Ⅰ）解：当时，，，又，．所以，曲线在点处的切线方程为，即．（Ⅱ）解：．由于，以下分两种情况讨论．（1）当时，令，得到，．当变化时，的变化情况如下表：00极小值极大值所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数．函数在处取得极小值，且，函数在处取得极大值，且．（2）当时，令，得到，当变化时，7的变化情况如下表：00极大值极小值所以在区间，内为增函数，在区间内为减函数．函数在处取得极大值，且．函数在处取得极小值，且．例5、解：（Ⅰ），依题意有，故．从而．的定义域为，当时，；当时，；当时，．从而，分别在区间单调

4、增加，在区间单调减少．（Ⅱ）的定义域为，．方程的判别式．（ⅰ）若，即，在的定义域内，故无极值．（ⅱ）若，则或．若，，．当时，，当时，，所以无极值．若，，，也无极值．（ⅲ）若，即或，则7有两个不同的实根，．当时，，从而在的定义域内没有零点，故无极值．当时，，，在的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知在取得极值．综上，存在极值时，的取值范围为．的极值之和为．变式4、D变式5、解：（Ⅰ）分别在区间，单调增加，在区间单调减少．（Ⅱ）在区间的最大值为．例6、解：（I）依题意，以的中点为原点建立直角坐标系（如图），则点的横坐标为．点的纵坐标满足方程，解得，　，其定义域为．（

5、II）记，则．令，得．因为当时，；当时，，所以是的最大值．因此，当时，也取得最大值，最大值为．即梯形面积的最大值为．例7、解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为.故长方体的体积为从而令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=17，因此x=1.当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜时，V′（x）＜0，故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2m，高为1.5m.变式6解：（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，要耗没（升）。（II）当速度为千米/小时时，汽车

6、从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，依题意得令得当时，是减函数；当时，是增函数。当时，取到极小值因为在上只有一个极值，所以它是最小值。答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。四、巩固练习1、D2、33、（Ⅰ），，．（Ⅱ）在上的最大值是，最小值是．4、解：（I）．（II）在区间和单调增加，在区间单调减小，极小值为，极大值为．5、解：求函数的导数．（Ⅰ）由函数在处取得极大值，在处取得极小值，知是的两个根．所以当时，为增函数，，由，得．（Ⅱ）在题设下，等价于　即．7化简得．所以的取值范围为．6、证明：当时，令，将（舍去），，当

7、时，随的变化情况如下表：0极小值从上表可看出，函数有且只有一个极小值点，极小值为．当时，随的变化情况如下表：0极大值从上表可看出，函数有且只有一个极大值点，极大值为．综上所述，当时，函数没有极值点；当时，若时，函数有且只有一个极小值点，极小值为．若时，函数有且只有一个极大值点，极大值为7．7