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2013年高考数学总复习 (5-4) 向量的应用及向量与其它知

'2013年高考数学总复习 (5-4) 向量的应用及向量与其它知'
2013年高考数学总复习 5-4 向量的应用及向量与其它知识但因为测试 新人教B版1.(2011·唐山联考)已知c、d为非零向量,且c=a+b,d=a-b,则|a|=|b|是c⊥d的(  )A.充分不必要条件    B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 因为c,d为非零向量,所以c⊥d?c·d=0?a2-b2=0?|a|2-|b|2=0?|a|=|b|.因此,|a|=|b|是c⊥d的充要条件,选C.2.(2011·成都市玉林中学期末)已知向量=(2,2),=(4,1),在x轴上有一点P,使·有最小值,则P点坐标为(  )A.(-3,0) B.(3,0)C.(2,0) D.(4,0)[答案] B[解析] 设P(x,0),则=(x-2,-2),=(x-4,-1),·=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1,∴当x=3时·有最小值,∴P(3,0).3.(文)(2011·广东江门市模拟)若四边形ABCD满足+=0,(-)·=0,则该四边形一定是(  )A.直角梯形 B.菱形C.矩形 D.正方形[答案] B[解析] 由+=0知,=,即AB=CD,AB∥CD.又(-)·=0,所以·=0,即AC⊥BD,因此四边形ABCD是菱形,故选B.(理)在△ABC中,(+)·=||2,则三角形ABC的形状一定是(  )A.等边三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形[答案] C[解析] 由条件知||2=(+)·(-)=||2-||2,∴AB2+AC2=BC2,∴△ABC为直角三角形.4.(2011·吉林部分中学质量检测)在平行四边形ABCD中,AD=2AB,∠BAD=120°,P是平面ABCD内一点,=x+y,当点P在以A为圆心,||为半径的圆上时,有(  )A.x2+4y2+2xy=3 B.x2+4y2-2xy=3C.4x2+y2+2xy=3 D.4x2+y2-2xy=3[答案] B[解析] 设AB=m(m>0),则由已知得BC=AD=2m,AC==m,||=||=m,∵=x+y,∴2=(x+y)2,∴3m2=x2·m2+y2·(2m)2+2xy·m·2mcos120°,即有x2+4y2-2xy=3,选B.5.(文)(2011·河南质量调研)直线ax+by+c=0与圆x2+y2=9相交于两点M、N,若c2=a2+b2,则·(O为坐标原点)等于(  )A.-7 B.-14C.7 D.14[答案] A[解析] 记、的夹角为2θ.依题意得,圆心(0,0)到直线ax+by+c=0的距离等于=1,∴cosθ=,∴cos2θ=2cos2θ-1=2×()2-1=-,∴·=3×3cos2θ=-7,选A.(理)设F1、F2为椭圆+y2=1的左、右焦点,过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点,当四边形PF1QF2面积最大时,·的值等于(  )A.0    B.2    C.4    D.-2[答案] D[解析] 由题意得c==,又S四边形PF1QF2=2S△PF1F2=2××F1F2·h (h为F1F2边上的高),所以当h=b=1时,S四边形PF1QF2取最大值,此时∠F1PF2=120°.所以·=||·||·cos120°=2×2×(-)=-2.6.(文)(2010·湖南考试院)如图,在△ABC中,AB=5,BC=3,CA=4,且O是△ABC的外心,则·=(  )A.6    B.-6    C.8    D.-8[答案] D[解析] ∵AB2=AC2+BC2,∴∠ACB为直角,∵O为△ABC外心,∴·=-·=-(+)·=-||2-·=-8.(理)如图,△ABC的外接圆的圆心为O,AB=2,AC=3,BC=,则·等于(  )A. B.C.2 D.3[答案] B[解析] ·=·(-)=·-·,因为OA=OB.所以在上的投影为||,所以·=||·||=2,同理·=||·||=,故·=-2=.7.(2011·佛山二检)如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,E为CD的中点,则·=________.[答案] 1[解析] 以A为原点,AB所在的直线为x轴,过A且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系. 由题设条件得A(0,0)、B(2,0)、E(2,)、D(1,),∴·=1.8.(2011·河北玉田一中质检)已知向量a=(x2,x+1),b=(1-x,t),若函数f(x)=a·b在区间(-1,1)上是增函数,则t的取值范围为________.[答案] t≥5[解析] 由题意知,f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t,则f ′(x)=-3x2+2x+t.若f(x)在(-1,1)上是增函数,则f ′(x)≥0在(-1,1)上恒成立?t≥3x2-2x在区间(-1,1)上恒成立,令g(x)=3x2-2x,由于g(x)的图象是对称轴为x=、开口向上的抛物线,故要使t≥3x2-2x在区间(-1,1)上恒成立,必有t≥g(-1)成立,即t≥5成立.故使f(x)在(-1,1)上是增函数的t的取值范围是t≥5.9.如图,半圆的直径AB=6,O为圆心,C为半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(+)·的最小值为________.[答案] -[解析] 设PC=x,则0≤x≤3.(+)·=2·=-2x×(3-x)=2x2-6x=2(x-)2-,所以(+)·的最小值为-.10.已知圆C:(x-3)2+(y-3)2=4及点A(1,1),M是圆C上的任意一点,点N在线段MA的延长线上,且=2,求点N的轨迹方程.[解析] 设M(x0,y0)、N(x,y).由=2得(1-x0,1-y0)=2(x-1,y-1),∴∵点M(x0,y0)在圆C上,∴(x0-3)2+(y0-3)2=4,即(3-2x-3)2+(3-2y-3)2=4.∴x2+y2=1.∴所求点N的轨迹方程是x2+y2=1. 11.(文)已知不共线向量、,且2=x+y,若=λ(λ∈R),则点(x,y)的轨迹方程是(  )A.x+y-2=0 B.2x+y-1=0C.x+2y-2=0 D.2x+y-2=0[答案] A[解析] 由=λ得,-=λ(-),即=(1+λ)-λ.又2=x+y,∴,消去λ得x+y=2,故选A. (理)设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A是抛物线上一点,若·=-4,则点A的坐标是(  )A.(2,±2) B.(1,±2)C.(1,2) D.(2,2)[答案] B[解析] 由题意F(1,0),设A(,y0),则=(,y0),=(1-,-y0),∵·=-4,∴(1-)-y=-
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