高考解答题型十含参数的不等式恒成立

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1、题型十　含参数不等式的恒成立问题(推荐时间：30分钟)1．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c＋lnx.(1)当a＝b时，若函数f(x)在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围；(2)设函数f(x)在x＝，x＝1处取得极值，且f(1)＝－1，若对任意的x∈，f(x)≤m恒成立，求m的取值范围．(参考数据：e≈2.7)2．(2011·湖北)设函数f(x)＝x3＋2ax2＋bx＋a，g(x)＝x2－3x＋2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.(1)求a、b的值，并写出切线l的方程；(2)若方程f(x)＋g(x)＝mx有三个互不相同的实根0、x

2、1、x2，其中x10)．当a＝0时，f′(x)＝>0，此时f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，∵x>0，∴2ax2＋ax＋1>0，∴f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a<0时，设g(x)＝2ax2＋ax＋1，函数g(x)在上单调递减，且g(0)＝1>0，故在(0，＋∞)上，函数g(x)的符号不确定，即此时f′(x)的符号不确定，所以函数f(x)在(0，＋∞)上不单

3、调．综上可知，a的取值范围是[0，＋∞)．(2)由题意得f′(x)＝2ax＋b＋＝，∵f(x)在x＝，x＝1处取得极值，∴f′(1)＝f′＝0，即，∴，即f′(x)＝＝，且f(x)＝x2－3x＋c＋lnx.又∵f(1)＝－1，∴1－3＋c＝－1，得c＝1，∴f(x)＝x2－3x＋1＋lnx.∵当x∈时，f′(x)>0，∴函数f(x)在上单调递增；∵当x∈时，f′(x)<0，∴函数f(x)在上单调递减；∵当x∈(1,2]时，f′(x)>0，∴函数f(x)在(1,2]上单调递增．∴f(x)极大值＝f＝－＋1＋ln＝－－ln2，而f(2)＝－1＋ln2，f(2)－f＝－＋ln4＝ln4－lne，由于

4、4>e>e，故f(2)>f，∴f(x)max＝－1＋ln2，∴m≥－1＋ln2.2．解　(1)f′(x)＝3x2＋4ax＋b，g′(x)＝2x－3.由于曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线，故有f(2)＝g(2)＝0，f′(2)＝g′(2)＝1，由此得解得所以切线l的方程为x－y－2＝0.(2)由(1)得f(x)＝x3－4x2＋5x－2，所以f(x)＋g(x)＝x3－3x2＋2x.依题意，方程x(x2－3x＋2－m)＝0有三个互不相同的实根0、x1、x2，故x1、x2是方程x2－3x＋2－m＝0的两相异的实根，所以Δ＝9－4(2－m)>0，即m>－.又对任意的x∈[x1，

5、x2]，f(x)＋g(x)0，x1x2＝2－m>0.故00，所以f(x)＋g(x)－mx＝x(x－x1)(x－x2)≤0.又f(x1)＋g(x1)－mx1＝0，所以函数f(x)＋g(x)－mx在x∈[x1，x2]上的最大值为0.于是当m<0时，对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x)