朗兰兹纲领与菲尔兹奖

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1、朗兰兹纲领与菲尔兹奖邓超（福建省福州市第十八中学350001）在数学中，被称为纲领的成果屈指可数，大致只有爱尔兰根纲领(ErlangerProgram)、希尔伯特纲领（Hilbert'sProgram）和朗兰兹纲领（LanglandsProgram）这三个。爱尔兰根纲领和希尔伯特纲领是19世纪后半业至20世纪初的产物，他们在数学史上都产生了重要的作用，影响了数学相关领域很长的时间。而朗兰兹纲领，它诞生与20世纪60年代，它的诞生已经引领了数学发展30余年，并且仍将继续引领着数学的发展。了解它，就能了解数学发展的一个侧面，因此它是今天我们着重要介绍的。朗兰兹纲领最初由

2、1995——1996年度沃尔夫奖获得者罗伯特·朗兰兹于1967在一封给安德烈·韦伊的信件中提出的，它是数学中一系列影响深刻的构想，联系了数论、代数几何以及群表示理论。依靠朗兰兹纲领，数学家在一个领域不能解决的问题，可以在其他领域证明解决。而如果在另一个领域内仍然难以找到答案，那么可以把问题再转换到下一个数学领域中，直到它被解决为止。所以朗兰兹纲领是21世纪最大的难题，也是未来最有潜力的研究领域。罗伯特·朗兰兹本人在非交换调和分析、自守形式理论和数论的跨学科领域进行深入研究，得出把它们统一在一起的Langlands纲领，并首先证明数域GL(2)的情形（同Jacque

3、t一起） 他在构造实可约群及P-adic可约群方面发展了一整套技术。证明特殊情形的Artin猜想，发展证明Euler积的函数方程存在的Langlands－Shahidi方法。提出Langlands猜想：一大类Euler积均具有函数方程，特别对于典型群，有“基底变换”现象。朗兰兹纲领的根源可以追溯到数论中的最深刻的结果之一—二次互反律。二次互反律最早产生与17世纪费马的时代，最后由欧拉明确的提出。数论中经常提到的一个重要的问题是：当两个素数相除时，余数是否是完全平方？二次互反律揭示了关于素数p和q的两个貌似无关的问题直接存在的奇妙联系。这两个问题是：“p除以q的余数是

4、否为完全平方？”“q除以p的余数是否为完全平方？”高斯先后给出了二次互反律的8种不同证明，并称它是数论中的一块宝石，数论中的酵母，是黄金定理。直到现在数学家们已经给出了200种以上的证明，证明还在不断增加，足见该定理的魅力。1920年日本数学家高木贞治发展了关于数域的阿贝尔扩张的理论，类域论。1925年，奥地利数学家阿廷利用类域论又发现了适用于较一般情形的互反律，这被称为阿廷互反律。我们可以将阿廷互反律为朗兰兹纲领之起点。给定一个Q上的、伽罗瓦群为可交换群的数域，阿廷互反律向这个伽罗瓦群的任何一支一维表示配上一枚L函数，并断言：此等L-函数俱等于某些狄利克雷L函数（

5、黎曼ζ函数的类推，由狄利克雷特征表达）。此二种L-函数之间的准确的联系构成了阿廷互反律。若给定不可交换伽罗瓦群及其高维表示，我们仍可定义一些自然的相配的L-函数——阿廷L函数。朗兰兹又经过深入的研究，将他的猜想扩展到函数域上，得到了更为完备的朗兰兹纲领。朗兰兹洞察到：当找到适当的狄利克雷L-函数的推广，便有可能推广阿廷互反律。赫克（ErichHecke）曾联系全纯自守形式（定义于上半复平面上、满足某些函数方程的全纯函数）与狄利克雷L函数。朗兰兹推广赫克理论，以应用于自守尖点表示（自守尖点表示是Q-阿代尔环上一般线性群GLn的某类无限维不可约表示）。朗兰兹为这些自守表

6、示配上L-函数，然后猜想（互反猜想）：每一来自给定数域的伽罗瓦群的有限维表示的阿廷L-函数，都相等于某一来自自守尖点表示的L-函数。若要建立一一对应，须考虑较伽罗瓦群的适当扩张，称作韦依-德利涅群。在可交换的例子，这相当于将狄利克雷特征推广为赫克特征。互反猜想蕴含阿廷猜想。朗兰兹再进一步推广：以任何连通约化群G代替上文中的一般线性群；构筑复李群LG（所谓朗兰兹对偶群，或L群）；以自守表示的L包代替自守表示；每个L包是自守表示组成的有限集，属同一L包的表示称作L不可辨的。向每一个G的自守尖点表示和每一个LG的有限维表示，配与一个L-函数；同一L包中的表示有相同的L-函

7、数及-因子。朗兰兹并猜想：此两个L-函数满足某函数方程。朗兰兹更构想了一道非常广泛的函子性原则（FunctorialityPrinciple）：函子性猜想.若指定二约化群，并指定其相应的L群之间的可容许同态，则二约化群的自守表示之间应该有某种与其L-函数相容之关系。函子性构想本质上是一种诱导表示构造（在传统的自守形式理论中称为提升，在某些特殊情况下已知），因而是协变的（相反地，受限表示构造是逆变的）。各种直接构造的尝试只产生了一些条件性的结果。上述各猜想亦有其他域上的版本：数域（最早期的版本）、局部域及函数域（即Fp(t)的有限扩张；其中p是一素数，Fp(t)是