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1、第四节一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数三、相关变化率隐函数和参数方程求导相关变化率第二章一、隐函数的导数若由方程可确定y是x的函数,由表示的函数,称为显函数.例如,可确定显函数可确定y是x的函数,但此隐函数不能显化.函数为隐函数.则称此隐函数求导方法:两边对x求导(注意y=y(x))(含导数的方程)例1.解：解得【注意】求隐函数的导数，结果中允许含有因变量y.例2.求由方程在x=0处的导数解:方程两边对x求导得因x=0时y=0,故确定的隐函数例3.求椭圆在点处的切线方程.解:椭圆方程两边对x求导故切线方程为
2、即例4.解：分析此为隐函数的高阶导数例5.求的导数.解:两边取对数,化为隐式两边对x求导也可这样求:1)对幂指函数可用对数说明:按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意:求导法求导:2)有些显函数用对数求导法求导很方便.例如,两边取对数两边对x求导又如,对x求导两边取对数二、由参数方程所确定的函数的导数【例如】消去参数【问题】消参困难或无法消参如何求导?由复合函数及反函数的求导法则得复合函数参数方程求导公式.【注】为方便见，通常把省去，后同.是通过t作为媒介成为x的函数,应表示为参数【注】不必死记，要会方法.容易出错，切勿
3、漏掉求高阶导数,从低到高每次都用参数方程求导公式.?例6.设,且求已知解:练习:书P112题8(1)解:注意:对谁求导?例7.设由方程确定函数求解:方程组两边对t求导,得故三、相关变化率为两可导函数之间有联系之间也有联系称为相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对t求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率例8.一气球从离开观察员500m处离地面铅直上升,其速率为当气球高度为500m时,观察员视线的仰角增加率是多少?解:设气球上升t分后其高度为h,仰角为,则两边对t求导已知h=500m时,思考题:当气
4、球升至500m时停住,有一观测者以100m／min的速率向气球出发点走来,当距离为500m时,仰角的增加率是多少?提示:对t求导已知求试求当容器内水例9.有一底半径为Rcm,高为hcm的圆锥容器,今以自顶部向容器内注水,位等于锥高的一半时水面上升的速度.解:设时刻t容器内水面高度为x,水的两边对t求导而故体积为V,则内容小结1.隐函数求导法则直接对方程两边求导2.对数求导法:适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数3.参数方程求导法极坐标方程求导4.相关变化率问题列出依赖于t的相关变量关系式对t求导相关变化率之间的关系
5、式转化求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式作业P1111(3);3(2);4(3);8(2);11求.解:方法1方法2等式两边同时对求导备用题1.设,求解：方程组两边同时对t求导,得2.设3.设由方程确定,解:方程两边对x求导,得再求导,得②当时,故由①得再代入②得求①4.设求提示:分别用对数求导法求答案:
