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《高等数学微积分第4章第4节函数的极值与最值》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第四节函数的极值与最值一.函数的极值定义设函数在点的某邻域内有定义,如果对该邻域内的任意点总有则称是函数的极大值,点称为函数的极大值点;如果对该邻域内的任意点总有则称是函数点称为函数的极小值点.的极小值,(1)极大值、极小值统称为极值；极大值点、极小值点统称为极值点；(2)极值是函数值,极值点是自变量的值.(3)极值是一个局部性概念.(4)只有区间内部的点才有可能成为极值点.点是函数的极值点的必要条件为或者不存在.证设在处可导,点为函数的极大值点故从而命题成立.定理4.7不存在驻点注一般来说圈中的点为有
2、限多个.设函数在点的某个空心邻域内可导,且在处连续.如果在点左邻域内有在点右邻域内有则是的极大值点;如果在点左邻域内有在点右邻域内有则是的极小值点;如果在点的某个空心邻域内,不变号,则不是的极值点.的的定理4.8例1求函数的单调区间和极值.解定义域为令得另外时不存在不存在极大值极小值设函数在点的某个邻域内可导,且存在若则在点取得极大值;若则在点取得极小值.证因则在点的某个空心邻域内在点取得极大值.定理4.9例2求函数的极值.解令得定义域为故在处取得极小值建议:1.如果可能的极值点只有导数等于零的点,建议
3、用定理4.92.如果可能的极值点既有导数等于零的点又有导数不存在的点,建议用定理4.8二.函数的最值1.闭区间上的连续函数求最值.不存在驻点极值点例3求函数上的最值.解令得在另外时不存在故最大值最小值2.闭区间上的单调函数求最值.3.例4要造一个容积为的无盖圆柱形桶,其底用铝制造,侧面用铁制造,已知铝与铁的单位面积价格比为问桶的底半径与高各为多少时,才能使桶的造价最低?解设桶的造价为设每平方米铁皮的价格为则每平方米铝皮的价格为则令得又故是唯一极值点且为极小值点,从而是最小值点.此时例5某产品总成本(单位
4、:万元)为年产量(单位:万元)的函数其中为待定系数,已知固定成本为4万元,且当年产量百吨时,总成本万元,问年产量多少时才能使平均单位成本最低.解由及知令得又故是唯一极值点且为极小值点,从而是最小值点.所以年产量为4百吨时,平均单位成本最低.例6某厂生产某种产品,年产量为(百台),总成本为(万元),其中固定成本为2万元,每生产1百台成本增加1万元,市场上每年可销售此种商品4百台,其销售总收入是的函数问每年生产多少台时总利润最大?值是多少?解令得又故是唯一极值点且为极大值点,从而是最大值点.所以解每年分则某
5、工厂生产过程中每年需要一种零件8000个,分若干批进货,零件的消耗是均匀的,例7每次进货费为已知每个零件每年的库存费为4元,如果问零件分几批进货,能使库存费与进货费最省?批进货,总费用为则令得又故是唯一极值点且为极小值点,从而是最小值点.所以利用最值证明不等式例8设且证明证因则则又设令得唯一解又故是唯一极值点且是极小值点从而是最小值点因此所以令得唯一解又作业题习题四(A)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27.
