高等数学无穷级数(IV)

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1、11.2常数项级数的审敛法正项级数及其审敛法交错级数绝对收敛与条件收敛小结定义为正项级数.收敛的充要条件单调增加数列一、正项级数及其审敛法若的一般项则称当级数为正项级数，则：这时,只可能有两种情形:定理1(基本定理)正项级数收敛有界.正项级数可以任意加括号,其敛散性对收敛的正项级数,其和也不变.不变,注例判定的敛散性.解由定理1知,故级数的部分和该正项级数收敛.由于另一个已知敛散性的正项级数比较来确定.启示:判定一个正项级数的敛散性,可与正项级数收敛部分和所成的数列有界.比较审敛法证定理2即部分和数列有界.则收敛收敛发散发散收敛.不是有界数列用比较审敛法，须有

2、参考级数.发散发散发散推论1(发散)收敛,收敛.(发散)现证注解(1)用比较审敛法发散.例讨论的收敛性.(2)收敛故(1)几何级数常用的比较级数(2)p-级数(3)调和级数发散推论2定理2则收敛收敛发散发散例讨论正项级数的敛散性.解：而等比级数收敛.所以原级数收敛.由比较审敛法，解因为而是发散的p-级数所以,原级数发散.由比较审敛法，例讨论正项级数的敛散性(比较审敛法的极限形式)定理3两级数有相同的敛散性;证由比较审敛法的推论,得证.比较审敛法的极限形式(2)推论则级数发散;则级数收敛.由比较审敛法可推出如下快速的审敛法当分母,分子关于n的最高次数分别为级数收

3、敛;级数发散.例发散.因为而发散.例收敛.解收敛发散例判定级数的敛散性.极限形式知,例判定级数的敛散性.解解而级数收敛,例使用比较审敛法或比较审敛法的极限形式必须找到适当的比较级数.由(1)式的左边相加,的各项右边,证(1)小于右边相加收敛的等比级数发散由(1)式的比值审敛法失效.左边,收敛.的对应项,