截长补短法专题201610

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1、《截长补短法》专题20161018截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想。截长就是在一条线上截取成两段，补短就是在一条边上延长，使其等于一条所求边截长:1.过某一点作长边的垂线 2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。补短:1.延长短边 2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起。例1:正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，∠EAF=45°.求证:EF=DE+BF.例2:如图，已知AD∥BC，AB=AD+BC，E是CD的中点，求∠AEB的度数.例3:如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC.求证:AB

2、+BD=AC.例4:如图，AC平分∠DAB，∠ADC+∠B=180°.求证:CD=CB.例5:等腰直角三角形△ABC，∠ACB=90˚，D是BC上中点，CF垂直AD，交AD于F，交AB于E，判断∠CDA和∠BDE的关系。例6:在△ABC中,AB=AC,∠ABC=40°,BD是∠ABC的平分线,延长BD至点E,使DE=AD。则∠ECA的度数是．例7：如图①，∠BDC=∠DBE=∠AEB=90°，∠ABC=45°，BD=BE，求证：AC=AE+CD证明：延长AE到F，使得EF=CD，连接BF∵∠BDC=∠AEB=90°∴∠BDC=∠BEF=90°在△BDC和△BEF中∴△BDC≌△BEF（S

3、AS）∴BC=BF，∠DBC=∠EBF∵∠DBE=90°，∠ABC=45°图①∴∠DBC+∠ABE=45°∴∠EBF+∠ABE=45°，即∠ABF=45°∴∠ABC=∠ABF=45°在△CBA和△FBA中∴△CBA≌△FBA（SAS）∴AC=AF∵AF=AE+EF=AE+CD∴AC=AE+CD小明在研究了例题后顺利地解答了下列两个问题，请你写出小明的解答过程：（1）如图②，∠BDC+∠AEB=180°，∠ABC=∠DBE，BD=BE，求证：AC=AE+CD图②（2）如图③，∠EBD+∠EFD=180°，∠ABC=∠DBE，BD=BE，试写出线段AC、CD、AE之间的数量关系，并说明理由图

4、③