证明三点共线方法举要

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1、证明三点共线方法举要四川省广元市宝轮中学唐明友有些数学问题要求你证三点共线，或者过程中需要你证三点共线，不少同学觉得无从下手，茫然失措，有些同学甚至想当然地把这三点看成在一条直线上，显然有失严密性，造成解题不完整或失误。本文介绍证明三点共线的若干种方法，希望对你有所帮助。一.运用平角的定义证三点共线例1.已知：在△ABC的边AC、BC的外侧作等边△ACE、等边△BCD，这两个三角形的外接圆相交于另一点O，求证：点A、O、D三点共线。证明：连接OA、OC、OD，∵四边形AOCE内接于圆，∴∠2＋∠E=180又△ACE和△BCD都是等

2、边三角形，∴∠E=60，∠3=60∴∠2=180－∠E=180－60=120，∵∠1=∠3=60,∴∠1＋∠2=180∴点A、O、D三点共线。二.运用“过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线”证三点共线例2.已知：AD是△ABC中∠CAB的外角平分线，过C作CD⊥AD于D，点E、F分别为AC、BC的中点，求证：D、E、F三点共线。证明:连接DE、EF∵DE是Rt△ADC斜边上的中线，∴DE=AE=EC，∴∠2=∠3∵AD平分∠CAX，∴∠1=∠2∴∠1=∠3，∴DE∥AB又∵EF是△ABC的中位线∴EF∥AB∴D、E、F三点共

3、线。三.运用“过一点有且只有一条直线垂直于已知直线”证三点共线例3.如图，直线DA、DC、CB分别切⊙O于点A、E、B，AD∥BC，AD=2,BC=4，求⊙O的直径。解：连接OA、OB，过D作DF⊥BC于F∵DA、DC、CB均是⊙O的切线∴OA⊥AD,OB⊥BC,DE=DA=2,CE=CB=4又∵AD∥BC，∴OA⊥BC根据OB⊥BC，OA⊥BC，可知点A、O、B三点共线，即AB是直径，在Rt△DFC中，DF===43因此，⊙O的直径AB为4四.运用“连接其中的两点构成的两条线段重合”证三点共线例1.如图，在梯形ABCD中，AD∥

4、BC，AD、BC的中点分别是M、N，∠B＋∠C=90，且BC>AD,求证：MN=（BC－AD）证明：延长BA、CD相交与G，分别连接GM、GN，由已知得△GBC、△GAD都是Rt△，先在Rt△GAD中，GM是斜边上的中线，∴GM=GA=MD，∴∠MGA=∠1同理可证∠NGB=∠B∵AD∥BC，∴∠1=∠B∴∠MGA=∠NGB，即∠MGA与∠NGB是同一个角，GM和GN重合∴点G、M、N三点共线由直角三角形斜边上中线的性质有：GM=AD,GN=BC因此，MN=GN－GM=（BC－AD）。五.运用“连接其中两点的直线必过第三点”证三点

5、共线例5.已知：△ABC的外心为O，垂心为H，OM⊥BC于M，（1）求证：OM=AH(2)设△ABC的重心为G，求证：点O、H、G三点共线。证明：（1）如图1，作直径BD，连接AD、CD，则O、M分别是BD、BC的中点，∴OM∥CD，且OM=CD又∵∠BAD=90，CH⊥AB∴AD∥CH又知AH⊥BC，OM⊥BC，∴OM∥AH∥CD∴四边形AHCD是平行四边形，∴CD=AH因此，OM=AH(2)如图2，连接AM、OH，设AM与OH交于G，由（1）得OM=AH且OM∥AH，∴△OMG∽△HAG3∴==，即MG=AG但AM为△ABC的

6、中线，∴G是这个三角形的外心，又∵G是△ABC的外心∴G与G重合因此，点O、H、G三点共线。六.运用“三角形中两边之和等于第三边”证三点共线例6.已知：点P为等边△ABC外一点，设PA=PB＋PC,将△ABP绕点A旋转至△ACD，求证：点P、C、D三点共线。证明：由图形可知旋转角是60，∴∠PAD=60且PA=DA,∴△PAD是等边三角形∴PA=PD又∵△ABP≌△ACD,∴PB=DC若PA=PB＋PC，∴DC＋PC=PD∴△PCD不能构成三角形，即点P、C、D三点只能共线。以上有些例题还可运用其他方法证明三点共线，比如例3还可通

7、过添加辅助线运用第一种和第二种方法予以证明，留给同学们自己去思考。总之，这类题型具有一定的技巧性，且综合性较强，但证明所运用的知识却很简单，只要善于总结，及时反思，注重数学思想方法和数学思维的训练，同学们的综合解题能力就可以迅速提高。3