第四章 概率论基础

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1、第4章概率论基础4.1什么是概率4.2怎样求概率4.3概率的计算学习目标阐述概率的定义；了解概率的三种计算方法；掌握概率的运算规律；在生活中经常会遇到这样一些关于不确定性的问题，比如：（1）在新产品上市前，经销商需要知道顾客是否会购买这种产品。为了降低风险，经销商通常进行市场调查，如随机抽取500人进行调查，询问他们对新产品的反应以及可能的建议。（2）汽车行业最近竞争很激烈。企业为确保达到汽车整车性能检测标准，需要从生产的汽车中选取一些样本进行检测。显然，如果所有汽车都接受检测，那么就没有用于销售的汽车了。

2、于是随机抽取若干辆汽车进行检测，根据检测结果，可得知汽车性能是否达标。（3）在经济危机的情况下，是否可以购买新的汽车或房子呢？有关概率的问题在日常生活和在统计课中一样是经常出现的。这一章中我们将讨论概率在统计中的意义以及我们如何应用它来进行统计分析。4.1什么是概率概率与某事件发生的机会、可能性或确定程度有关。概率(probability)就是一个数字。介于0和1之间，描述一个事件发生的经常性。小概率(接近零)的事件很少发生，而大概率(接近1)的事件则经常发生。例如：一个人中一次彩票一等奖的概率很小；一年中

3、至少有一场飓风袭击我国沿海地区的概率就很大，因为在大部分年份中都多于一场飓风发生。试验（experiment）是导致所有可能观测中有且仅有一个出现的过程。在统计学中一个试验有两个或两个以上的结果，发生哪一个都是不确定的。结果（outcome）是指一个试验的特定结果。例如，抛硬币是一个试验，你可以观察抛硬币，但你不知道将会出现“正面”或是“反面”，因为一个结果是“正面”，另一个是“反面”。一个试验的结果组成的集合称之为事件（event）。我们用两个例子来描述试验、结果与事件。在掷一枚骰子的试验中，有6种可能的

4、结果，因为有1到6个点数，但是有很多可能的事件；又例如，在计算世界500强企业中的CEO年龄超过60岁的人数时，可能的结果从0到总的人数，该试验中有很多可能的事件。4.2怎样求概率4.2.1利用等可能性事件求概率古典概率（classicalprobability）：如果试验有n种可能的结果，一个有k种结果的子集为有利的，那么k/n就是这个有利事件出现的概率。对于掷骰子的问题，出现一面的结果是k=1，而n=6种可能的结果，则出现某一面的概率是1/6。对于一副扑克牌有k=13个红桃及n=52张牌，则抽出红桃或其

5、它某一花色的概率是13/52=1/4。4.2.2使用相对频数的方法事件并不一定是等可能的，或者人们对于其出现的可能性一无所知。这时就要靠观察它在大量重复试验中出现的频率来估计它出现的概率。它约等于事件出现的频数k除以重复试验的次数n，该比值k/n称为相对频数（relativefrequency）或频率。4.2.2使用相对频数的方法例如，假定想知道某个服装店橱窗设计吸引注意力的概率，可以观察有多少过往的人在它面前逗留观看。如果观察了500人(相当于500次试验)，有12个人在该橱窗前逗留，那么可以大致地说，该

6、橱窗吸引行人的概率近似地为相对频数k/n=12/500。试验次数n越大则该值越接近于想得到的概率。4.2.3利用主观概率的方法一些概率既不能由等可能性来计算，也不可能从试验得出。比如，你今年想学开车概率、你五年内去欧洲旅游的概率等这种概率称为主观概率(subjectiveprobability)。可以说，主观概率是一次事件的概率。或为基于所掌握的信息，某人对某事件发生的自信程度。4.3概率的计算在掷骰子中，得到6点的概率是1/6，而得到5点的概率也是1/6。那么掷一次骰子得到5或者6的概率是多少呢？在掷10

7、次骰子中有一半或以上的次数得到5或6的概率又是多少呢？读者很快就可能很快会得到答案。但再复杂一些，也许就不简单了。4.3概率的计算如果今天下雨的概率是10％，则今天不下雨的概率就是90％。如果你中奖的概率是0.0001，那么不中奖的概率就是1－0.0001=0.9999。这种如果一个不出现，则另一个肯定出现的两个事件称为互补事件（complementaryevents，或者互余事件或对立事件）。如果一个事件记为A，那么另一个记为AC（称为A的余集或补集）。互补事件的概率之和为1，即P(A)+P(AC)=1，

8、或者P(AC)＝1－P(A)。赌博时常常爱用优势或赔率（odds）来形容输赢的可能。它是互补事件概率之比，即P(A)/P(AC)＝P(A)/[1-P(A)]来表示。4.3.1概率的加法如果两个事件不可能同时发生，那么至少其中之一发生的概率为这两个概率的和。比如“掷一次骰子得到3或者6点”的概率是“得到3点”的概率与“得到6点”的概率之和，即1/6+1/6=1/3。但如果两个事件可能同时发生时这样做就不对了。假定掷