概率论第四章

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1、概率论与数理统计ProbabilityandMathematicalStatistics第四章随机变量及其分布随机变量及其分布函数离散型随机变量概率论与数理统计连续型随机变量Page2随机变量的分类随机变量离散型随机变量非离散型随机变量连续型随机变量奇异型（混合型）Page3例电脑寿命可用一个连续变量T来描述.例检测一件产品可能出现的两个结果,也可以用一个离散变量来描述Page4第一节随机变量及分布函数随机变量(randomvariable)设是试验E的样本空间,若则称X()为上的随机变量按一定法则简记r.v.X.r.v.一般用大写字母X,Y,Z,或小写希

2、腊字母,,表示.Page5例1从一批废品率为的产品中有放回地抽取次，每次取一件产品，记录取到废品的次数，这.如果用表示的取值依赖于实验结果，的取值也就随之确定了。比即在次抽取中，只有一次取到了废品，那末一试验的样本空间为取到废品的次数，那末，当实验结果确定了，如，进行了一次这样的随机试验，实验结果Page6Page7无论随机试验的结果本身与数量有无联系，我们都能把实验的结果与实数对应起来，即可把实验的结果数量化。由于这样的数量依赖实验的结果，而对随机试验来说，在每次试验之前无法断言会出现何种结果，因而也就无法确定它会取什麽值，即它的取值具有随机性，我们称这样

3、的变量为随机变量。说明：Page8随机变量是上的映射定义域事件域随机性r.v.X的可能取值不止一个,试验前只能预知它的可能的取值，但不能预知取哪个值概率特性X以一定的概率取某个值此映射具有如下特点Page9引入r.v.后,可用r.v.的等式或不等式表达随机事件,例如——表示“某天9:00~10:00接到电话次数超过100次”这一事件为事件A的示性变量r.v.的函数一般也是r.v.可根据随机事件定义r.v.设A为随机事件，则称Page10在同一个样本空间可以同时定义多个r.v.,例如={儿童的发育情况}X()—身高,Y()—体重,Z()—头围.各r.v.

4、之间可能有一定的关系,也可能没有关系——即相互独立Page11普通实函数无需做试验便可依据自变量的值确定函数值，而随机变量的取值在做实验之前是不确定的，只有在做了试验之后，依据所出现的结果才能确定。随机变量与普通实函数这两个概念既有联系又有区别，他们都是从一个集合到另一个集合的映射区别在于注意：当我们把随机试验的结果数量化时，不可随心所欲，而是应该合乎概率公理体系的规范。Page12引入r.v.重要意义◇任何随机现象可被r.v.描述◇借助微积分方法将讨论进行到底对于随机变量，我们不只是看它取哪些值，更重要的是看它，都是一个事件，因此有一个确定的概率与相对应，所以，概

5、率是的函数。这个函数在理论以多大的概率取那些值。由随机变量的定义可知，对于每一个实数和应用中都是很重要的，为此，我们有以下定义：说明：Page13随机变量的分布函数设X为r.v.,x是任意实数,称函数为X的分布函数.（]ab]]（]用分布函数计算X落在(a,b]里的概率：Page14例3设袋中装有6个球，编号为{-1，2，2，2，3，3}从袋中任取一球，求取到的球的号的分布律及分布函数因为可取的值为-1，2，3，而且，，所以的分布律为解：X-123P1/61/21/3Page15当时，当时，当时，当时，所以，Page16分布函数的性质F(x)单调不减，即且F(x

6、)右连续，即Page17用分布函数表示概率Page18设r.v.X的分布函数：计算例1解Page19Page20第二节离散型随机变量定义若随机变量X的可能取值是有限个或可列个,则称X为离散型随机变量.描述X的概率特性常用概率分布或分布律XP或即Page21非负性归一性X~或分布律的性质Page22离散随机变量及其分布函数其中.Page23例1设汽车在开往甲地途中需经过4盏信号灯,每盏信号灯独立地以概率p允许汽车通过.出发地甲地首次停下时已通过的信号灯盏数,求X的概率分布与p=0.4时的分布函数.令X表示Page24•0•1•2•3•4xx]]]•]••k

7、pk012340.60.240.0960.03840.0256代入Page25•0•1•2•3•4xF(x)o•o•1•o•o•oPage26例2在上例中,分别用分布律与分布函数计算解或此式应理解为极限Page27常见离散r.v.的分布(1)0–1分布是否超标等等.凡试验只有两个结果,常用0–1分布描述,如产品是否合格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗X=xk10Pkp1-p0