径向基函数的无网格Galerkin方法

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1、径向基函数的无网格Galerkin方法摘要：首先我们把径向基函数的理论应用到了Galerkin方法解偏微分方程的领域屮。在给了一个总的描述Z后，我们展示了光滑问题在任意维当屮的收敛性并作出了误差估计。1引言径向基函数插值在多元近似理论屮已经成为了一个强有力的工具，特别对于紧支撑径向基函数出现后。这篇文章我们描述了径向基函数怎样被用来求解椭圆型偏微分方程的数值解。这里我们选择了同古典的有限元方法之中相同的Galerkin方法，得到的结果是可以同古典有限元方法比较的。与有限元方法相比，使用径向基函数建立有限维子空间的结果与当前子空间的维数没有关系，那么原则上它能解决量

2、子力学中的高维问题。其次，古典有限元方法关于网格的技术细节要花费很多时间，尤其是对于运动边界随时间变化的问题。网格的形成不仅要适应解的奇异性，同时要适应域的改变。无网格方法不需要处理像这样的问题，因为它们仅仅使用了无关的离散中心。最后，光滑解能同非光滑解一样简单的被建立。第二部分描述了更多偏微分方程的细节及Galerkin方法。第三部分简单的概括了径向基函数插值理论。在第四部分我们展示了这个理论怎样被应用到Galerkin法和Rayleigh-Hitz法近似中来，并且在Sobolev空间得到了一种特殊的基函数。最后一部分，我们把这些结果推广到更一般的基函数中，即使

3、我们在不知道精确解光滑性的情况下，也给出它的逼近阶。2PDE和Galerkin法在有界域Q及其O-边界3Q上考虑如下问题:d-zi，j=du3Xj)(x)+c(x)u(x)=/(x),xeQ(2.1)(2.2)(x)+h(x)u(x)=g(x),xe3Q其中勺,=…厶(Q),勺,/zw2(dQ),geL2(3Q)v为边界dQ上的单元标准向量。假设矩阵AQO=（知（对）在Q上满足椭圆条件也就是说存在常数丫对所有xeQ,aw口〃都有dd（兀）Q0/>1i，冃^求（2.1）式的变分方程任取veV,V=Wj,乘以（2.1）两端并在Q上积分:匕g叙證）+皿）心0对上式第一

4、项由格林公式可得:a^v^vds观2i，冃丸-J£叙厝)•曲二厝兽妇j£QM=1OXiOXjQM=1OXjOXi3£2M=1(2.1.2)由（2.2）式得:3m7Z―vz.=g-hudxJaif^-^-dx-j(g-hu)vds+jcuvdx-jfvdx=O&XjOx：°Qqq我们可以得到连续的双线性形式:肆皿（2.3）a(u,v)=j(工ayJJ+cuv)dx+[ij=^XjdXj(和连续的线性形式：F(v)=Lfvdx+.gvdSV=W^那么(2.1)〜(2.2)的变分问题就是，求函数对于任意veW^都有Q仏y)=F(y)(2.4)成立，由Lax-Milgr

5、am定理知函数U是唯一的。这种方法可以在整个IV,1(Q)Sobolev空间上进行，边界条件木身融入了双线性形式Q和线性形式F。为了得到(2.4)的数值解，构造解空间V的有限维子空间人，并离散化则有，求函数uNGVv对于任意陀都有a(uN,v)=F(v)(2.5)(2.4)式得真解U与数值解UNZ间的误差是收敛的，可由Cea引理得也-臥Ng"廟I山-叫(⑵(2.6)C为一常数。我们可以要求)并且〃为当前空间维数，事实上，根据Sobolev空间的嵌入定理，这就要求被逼近的函数至少是一个连续函数。3径向基函数本文用有限维空间$，有如下形式：VN…，①(•_&)}+£?

6、函数①：R"T/?至少是一阶连续的可导函数，戌为次数小于m的多项式空间，X={xp...,xaJcQ是由两两不同的点集组成。当0为紧支撑函数Hm=OI］寸，这种情况下的刚度矩阵。(①(•-X)①(•-xky)是稀疏的，而且①⑴"(制2),xeRdK有一个单变量函数0:检》，刚度矩阵的很多项可以很容易的计算出来。下面我们通过(2.6)式考虑逼近误差，因此我们需要调用径向基函数的一些理论。定义3.1函数①：R〃T/?是m阶条件正定的当且仅当对于任意互异的点集X={西,…，心}uR〃以及所满足的条件N工勺町=0,p

7、oj,k=是成立的，当m=0,①称为止定函数。如果知道u在一个两两互异的离散点X二X，…，兀訂上的值，其径向基函数插值就是构造如下的插值函数NSu⑴=工勺①(无-xz)+P(x)冃'P为次数小于m的多项式，通过插值，S“满足5M(x.)=W(x.),l1明始终存在一个S“满足所需的条件。径向基函数名称①（兀）=0（厂）,厂=制2mF(/7)薄板样条(_1)井/2严iogr,〃w2N(一1)[“/2]严,“wR>o2N1+“/?[〃/2]Sobolev样条仏/2（尸）宀，

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