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《等差数列与等比数列习题2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、等差数列与等比数列习题例1.等差数列中，-曰10二&日11-0二4,求S13解：由求和公式叶2-吟知问题转化为求日7由条件得:$7=12例2.已知数列&｝满足5=产JfJ(1)计算:弧為N(2)求数列的通项公式解：⑴由勺一匚戸可计算出2日2二_1,日3二二，越二_1有两种解法，一由ag❻的值猜想通项公式然后用数学归纳法证明二是由已知得：么#»4=%(*)aa-fla-9=十叫$两式相减得：(乔厂1)(an~a„-2)=0显然不存在^.-1=0的情况，否则代入(*)有a”=a”+l即0=1矛盾,故
2、只有<3/；—3，n-2=■21^3这样可得I'1”为濟或4例3.已知数列｛禺｝的各项均为正数，且前/7项之和S”满足6S/7=^?2+3^+2.若0,创禺成等比数列，求数列的通项公式。解：当77=1时，由题意有6&1二討+3計2于是ai=l或＜31=2当/?32时，有6S”二＜3；+3＜9刀+2，6S,厂尸乔J+3乔1+2两式相减得：(禺+乔1)(禺-乔厂3)二0由题意知｛乩」各项为止，所以3n~当0二1时，自”二1+3(77~1)二3/7-2此时訂二$泊9成立当创二2时，禺二2+3(旷1)二
3、3旷1此时&「二臼2日9不成立，故日1二2舍去所以an=3n~2例4.各项为实数的等差数列的公差为4,其首项的平方与其余各项之和不超过100,这样的数列至多有多少项？解设Si,越…，a”是公差为4的等差数列，则日/+臼2+/+・・・+②£100,即Q：+直±2呼竺』奸。空如日12+(/?-1)日i+(2t/-2t?-100)£0(1)因此，当且仅当D=(/7-1)2-4(2/72-2/t-100)30时，至少存在一个实数a、满足⑴式。因为D30,所以7/-6/401£0,解得-口£门£刃2(2)
4、其耐e5=吐严“所以满足⑵的自然数力的最大值为8。故这样的数列至多有8项。例5.各项均为实数的等比数列｛/｝的前/7项之和为S”,若S沪10,S30=70,求S4oo解记厶二Sio,厶二S20-Sio,Z%~S3o—S20,/^=S.4o—S30.设q是｛禺｝的公比，则b,bi,bi,b构成以为公比的等比数列o于是70二S3o=厶+厶+厶-b(1+z+r)二10(1+严F)即/+广6二0.解得厂2或厂-3由于厂d°>o,所以厂2故S4o=1O(1+2+22+23例6.给定正整数n和正数M,
5、对于满足条件討+a”『£M的所有等差数列a”a2,a?…试求S二％1+恥+・・・+日2旳的最大值。解设公差为a0什］二日.则S二<3/?+1+…+二（卅1）时2J-s,.adME=故2卄1又皿彳窘+弘/={a~nd）2+a所以且当2嚅忆“需弓"时勢（卄换=2由于此时a-3ndy所以岸亠4J=—-—M=M■r«*K）厲+4IQ4颍仏In屈所以S的最人值为“o例7.设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3,且各项Z和为972,这样的数列共有多少个？解设等差数列首项为臼，公差为d,依题意有即
6、[2計（77-1）也尸2，972,（3）因为〃为不小于3的自然数，97为素数，故/?的值只可能为97,2’97,97；2’972四者之_。若Q0,则由⑶知2’9723/7（/t-1）6?3/7（/7-1）.故只可能有严97•于是（3）化为計48方97・此时可得77=97,d=l,a=49或zf97,d=2,a=l.若由0时，则由（3）得刀护972,此时/7=97,<3=97或沪97；<3=1。故符合条件的数列共有4个。例8•设&｝是由止数组成的等比数列，S”是前77项之和（1）证明（2）是否存在
7、常数c〉0,使得2立,并证明你的结论证明：（1）设｛/｝的公比为q,由已知得:<3i>0,q>0i）当旷1时，Sf加1,从而，SmXS”2-S^iJ/7$i（卅2）色-（刀，1）2a-一討〈0s/iQF）ii）当711时，"一―I由i）、ii）均有s〃xs”2〈s川，两边同时取对数即得证⑵要使2）成立,则有侃・坎耳袍-c）=gSa—e>0分两种情况讨论（S厂c）X（S”2-小-（S〃+i-c）J（加丄-c）[（卅2）a~c-[_（77+I）a~c2=一昇〈0即不存在常数c〉0使结论成立ii
8、)当qll时,若条件(S厂c)X(Sm-c)二(S”iP)2成立，则(S〃-c)X(Sm-c)-(S/沖-c)2=[哑込諒迪迪1-彳1-fl-g=~a{q_arc{-q)]而<31^10,故只能是a-c(l-q)=0亡—5即T此时，由于c〉0y〉0,必须0<7<1,但0〈q〈l时，匕_=泌<()1-«1-@不满足S厂c〉0,即不存在常数c>0满足条件综合i)、ii)可得，不存在常数c>0,满足题意例9•设任意实数逅尸满足
9、^
10、<1,
11、/1<1,求证：匸歹亠口尹匸万(第19届莫斯科数学竞赛试题
