第三篇 导数及其应用第2讲 导数的应用(一)

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1、第2讲　导数的应用(一)【2013年高考会这样考】1．利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间．2．由函数单调性和导数的关系，求参数的范围．【复习指导】本讲复习时，应理顺导数与函数的关系，理解导数的意义，体会导数在解决函数有关问题时的工具性作用，重点解决利用导数来研究函数的单调性及求函数的单调区间．基础梳理1．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线l的斜率，切线l的方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．导数的物理意义若物体位移随时间变化的关系为s

2、＝f(t)，则f′(t0)是物体运动在t＝t0时刻的瞬时速度．3．函数的单调性在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递增；f′(x)≤0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递减．易误警示直线与曲线有且只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线；反之直线是曲线的切线，但直线不一定与曲线有且只有一个公共点．两个条件(1)f′(x)＞0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件．(2)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝

3、x0处有极值的必要不充分条件．三个步骤　求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)解出相应的x的范围．当f′(x)＞0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)＜0时，f(x)在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间．双基自测1．(2011·山东)曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是(　　)．A．－9B．－3C．9D．15解析　由已知y′＝3x2，则y′

4、x＝1＝3切线方程为y－12＝3(x－1)，即y＝3x＋

5、9.答案　C2．(2012·烟台模拟)函数f(x)＝x2－2lnx的递减区间是(　　)．A．(0,1]B．[1，＋∞)C．(－∞，－1)，(0,1)D．[－1,0)，(0,1]解析　函数的定义域为(0，＋∞)，又f′(x)＝2x－＝2由f′(x)≤0，解得0＜x≤1.答案　A3．(2012·长沙一中月考)若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小值为(　　)．A．1B.C.D.解析　由已知y′＝2x－，令2x－＝1，解得x＝1.曲线y＝x2－lnx在x＝1处的切线方程为y－1＝x－1，即x－y＝0.两直线x

6、－y＝0，x－y－2＝0之间的距离为d＝＝.答案　B4．(人教A版教材习题改编)在高台跳水运动中，ts时运动员相对水面的高度(单位：m)是t1(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，高台跳水运动员在t＝1s时的瞬时速度为________．答案　－3.3m/s5．函数f(x)＝x3－3x2＋1的递增区间是________．解析　f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，由f′(x)＞0解得x＜0，或x＞2.答案　(－∞，0)，(2，＋∞)　　考向一　求曲线切线的方程【例1】►已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)

7、在x＝2处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．[审题视点]由导数几何意义先求斜率，再求方程，注意点是否在曲线上，是否为切点．解　(1)f′(x)＝3x2－8x＋5f′(2)＝1，又f(2)＝－2∴曲线f(x)在x＝2处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0.(2)设切点坐标为(x0，x－4x＋5x0－4)f′(x0)＝3x－8x0＋5则切线方程为y－(－2)＝(3x－8x0＋5)(x－2)，又切线过(x0，x－4x＋5x0－4)点，则x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)(x0－2)，整

8、理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2，或x0＝1，因此经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0，或y＋2＝0.首先要分清是求曲线y＝f(x)在某处的切线还是求过某点曲线的切线．(1)求曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线方程可先求f′(x0)，利用点斜式写出所求切线方程；(2)求过某点的曲线的切线方程要先设切点坐标，求出切点坐标后再写切线方程．【训练1】若直线y＝kx与曲线y＝x3－3x2＋2x相切，试求k的值．解　设y＝kx与y＝x3－3x2＋2x相切于P(x0，y0)则y0＝kx0，①y0＝x－3x＋

9、2x0，②又y′＝3x2－6x＋2，∴k＝y′

10、x＝x0＝3x－6x0＋2，③由①②③得：(3x－6x0＋2)x0＝x－3x＋2x0，即(2x0－3)x＝0.∴x0＝0或x0＝，∴k＝2或k＝－.考向二　函数的单调性与导数【例2】►已