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1、平行四边形的计算和证明问题专项练习1.V32x123+bx+6侖经过A(2,0)o设顶点为点P,与兀轴的另一交点为点Bo(1)求方的值，及点P、点B的坐标；(2)如图，在直线y=V3x±是否存在点D,使四边形OPBD为平行四边形？若存在,求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在兀轴下方的抛物线上是否存在点M,使厶AMP9ZL4MB?如果存在，试举例验证你的猜想；如果不存在，试说明理由。2.如图，抛物线y二处？+加+c(°hO)与兀轴交于点A(-1,0),3(3,0)两点，与y轴交于点C(0,-3)owan平行四边形的计算和证明问题专项练习参考答案A(2,0),1.解：（
2、1）由于抛物线y二*”+以+6侖经过所以0二晅x4+2b+6VL解得"-4石.2所以抛物线的解析式为y=^x2-血+6a/3.（*）将（*）配方，得y=^-（x-4）2-2V3,所以顶点P的坐标为（4,-2点）令严0,得^（x-4）2-2^3=0,解得兀1=2,兀2=6,所以点B的坐标为（6,0）o（2）在直线y=^x±存在点D,使四边形OPBD为平行四边形。理由如下：设直线PB的解析式为y=kx+b,把B（6,0）,P（4,・2J亍）分别代入,6220,4k+b=-2y5.k=a/3,解得所以直线PB的解析式为y=品x-血.又直线OD的解析式为_y=V3x所以直线PB〃O
3、D.设直线OP的解析式为y=mx,把p（4,-2>/3H弋入，得4加=-2占解得心如果OP〃BD,那么四边形OPBD为平行四边形.2设直线B£>的解析式为y=一^~x+n,将B（6,0）代入，得0=-3^3+n,所以n=3^3所以直线BD的解析式为y=-丰X+3V3,x=2,y=2^3.解方程组y=岳，y=jlx+3忑.得’2所以D点的坐标为(2,2石)(3)符合条件的点M存在.验证如下：过点P作兀轴的垂线，垂足为C,则PC=2屈，AC=2,由勾股定理，可得4P=4,PB=4,又A3二4,所以zMPB是等边三角形，只要作ZPAB的平分线交抛物线于M点，连接由于AM二AM,ZP
4、AM=ZBAMAB=AP,可得△因此存在这样的点M,使△AMP空△AA7B.2.解:(1)设抛物线解析式为y=ci(x+])(x-3)・・•抛物线过点(0,3)・•・—3=°(0+1)(0—3)./•a=-l抛物线解析式为y=(x+l)(x-3)=x2-2x-3*•*y=x2-2x-3=(x-l)2_4,M(1,4)(2)如图，连接BC、BM、CM,作MD丄x轴于点D.S'BCM=S梯形0CMD+»BMD_S&BOC1=—X2s^bc=-x4x3=6:SAABC(3)存在这样的点Q。①当Q点在兀轴下方时，作QE丄x轴于点E・・・AC〃PQ且AC=PQ,・•・OC=EQ=3由一
5、3=x2-2x-3解得：x,=0(舍)x2=2・•・2(2,-3)②当Q点在兀轴上方时，作QF丄兀轴于点F•・・AC〃PQ且AC=PQARtAOAC^RtAFPQAOC=FQ=3由3=x2-2x-3解得：x、=-护无2=1+衙・・・Q(1-",3)或Q(l+",3)综上，满足条件的Q点坐标为(2,-3)或(1-",3)或(1+",3)3.解：(1)如下图，.ZAPE=45%(2)解法一：如图1,将AE平移到DF,连接BF,EF.则四边形AEFD是平行四边形。:.AD//EF,AD=EF.ac=£bd,CD=x^AE,BDACCDBDDF•・•ZC=90°,・・・ZBDF=1
6、80°-ZC=90°o・・・ZC=/BDF。:.HACDs/BDF°:.—=—=x/3,Zl=Z2oBFBD:.竺妙屁BFBF•・・Zl+Z3=90°,・•・Z2+Z3=90°o・・・BF丄ADo・・・BF丄EF。RF/q・•・在RtABEF屮，tanZBEF=——=—0EF3・・・ZAPE=ZBEF=30°.解法二：如图2,将C4平移到DF,连接AF,BF,EF.图2则四边形ACDF是平行四边形。・・•ZC=90°,・・・四边形ACDF是矩形，ZAFD=ZCAF=90°,Z1+Z2=90°o•・•在RtZXAEF屮，tanZ3=—,AFCD3在RtABDF屮，tanZl=
7、—,DFAC3・・・Z3=Zl=30°o・・・Z3+Z2=Z1+Z2=9O°,即ZEFB=90%・・・ZAFD=ZEFBOXV匹=邑=邑,BFEF2:.ZDFsEBF°:.Z4=Z5o・.・Z4PE+Z4=Z3+Z5,・・・Z4PE=Z3=30°o(1)求该抛物线的解析式及顶点M的坐标；(2)求厶BCM面积与AABC面积的比；(3)若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ〃AC交抛物线于点Q,随着P点的运动,在抛物线上是否存在这样的点Q,使以A、P、Q、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出Q点的坐
