正方形的计算和证明问题课后练习.doc

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1、正方形的计算和证明问题专项练习1.提出问题：（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE⊥DH于点O，求证：AE=DH；类比探究：（2）如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在边AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由；综合运用：（3）在（2）问条件下，HF∥GE，如图3所示，已知BE=EC=2，EO=2FO，求图中阴影部分的面积。2.如图1，点为正方形的中心。（1）将线段绕点逆时针方向旋转，点的对应点为点，连接，，，请依题意补全图1；（2）根据图1中补全的图形，猜想并证明与

2、的关系；（3）如图2，点是中点，△是等腰直角三角形，是的中点，，，，△绕点逆时针方向旋转角度，请直接写出旋转过程中的最大值。3.如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（﹣4，4）。点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动。连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D。BD与y轴交于点E，连接PE。设点P运动的时间为t（s）。（1）∠PBD的度数为　　，点D的坐标为　　（用t表示）；（2）当t为何值时，△PBE为

3、等腰三角形？（3）探索△POE的周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值。正方形的计算和证明问题专项练习参考答案1.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH。∴∠HAO+∠OAD=90°。∵AE⊥DH，∴∠ADO+∠OAD=90°。∴∠HAO=∠ADO。∴△ABE≌△DAH（ASA），∴AE=DH。（2）EF=GH。理由如下：将FE平移到AM处，则AM∥EF，AM=EF。将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN=GH。∵EF⊥GH，∴AM⊥DN，根据（1）的结论得AM=DN，所以EF=GH；

4、（3）解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD∴∠AHO=∠CGO∵FH∥EG∴∠FHO=∠EGO∴∠AHF=∠CGE∴△AHF∽△CGE∴∵EC=2∴AF=1过F作FP⊥BC于点P，根据勾股定理得EF=，∵FH∥EG，∴根据（2）知EF=GH，∴FO=HO。∴，，∴阴影部分面积为。2.解：（1）正确画出图形，如下图所示：（2）延长交于点，交于点∵为正方形的中心，∴，∠＝90∵绕点逆时针旋转90角得到∴∴∠＝∠＝90∴∠＝∠在△和△中，，，∠＝∠，[来源:学科网]∴△≌△∴∴∠＝∠∵∠+∠∴∠+∠=90∴⊥（3）的最大值为3.解：（1）如图1，由题意可

5、得：AP=OQ=1×t=t∴AO=PQ。∵四边形OABC是正方形，∴AO=AB=BC=OC，[来源:学科网]∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°。∵DP⊥BP，∴∠BPD=90°。∴∠BPA=90°﹣∠DPQ=∠PDQ。∵AO=PQ，AO=AB，∴AB=PQ。在△BAP和△PQD中，[来源:Z_xx_k.Com]∴△BAP≌△PQD。∴AP=DQ，BP=PD。∵∠BPD=90°，BP=PD，∴∠PBD=∠PDB=45°。∵AP=t，∴DQ=t。∴点D坐标为（t，t）。故答案为：45°，（t，t）。（2）①若PB=PE，则∠PBE=∠PEB=45

6、°。∴∠BPE=90°。∵∠BPD=90°，∴∠BPE=∠BPD。∴点E与点D重合。∴点Q与点O重合。与条件“DQ∥y轴”矛盾，∴这种情况应舍去。②若EB=EP，则∠PBE=∠BPE=45°。∴∠BEP=90°。∴∠PEO=90°﹣∠BEC=∠EBC。在△POE和△ECB中，∴△POE≌△ECB。∴OE=BC，OP=EC。[来源:学#科#网Z#X#X#K]∴OE=OC。∴点E与点C重合（EC=0）。∴点P与点O重合（PO=0）。∵点B（﹣4，4），∴AO=CO=4。此时t=4。③若BP=BE，在Rt△BAP和Rt△BCE中，∴Rt△BAP≌Rt△BCE（

7、HL）。∴AP=CE。∵AP=t，∴CE=t。∴PO=EO=4﹣t。∵∠POE=90°，∴PE==（4﹣t）。延长OA到点F，使得AF=CE，连接BF，如图2所示。[来源:学

8、科

9、网]在△FAB和△ECB中，∴△FAB≌△ECB。∴FB=EB，∠FBA=∠EBC。∵∠EBP=45°，∠ABC=90°，∴∠ABP+∠EBC=45°。∴∠FBP=∠FBA+∠ABP=∠EBC+∠ABP=45°。∴∠FBP=∠EBP。在△FBP和△EBP中，∴△FBP≌△EBP。∴FP=EP。∴EP=FP=FA+AP=CE+AP。∴EP=t+t=2t。∴（4﹣t）=2t。解得：

10、t=4﹣4∴当t为4秒或（4﹣4）秒时，△PBE为等腰三角形。（3）∵EP=CE