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《第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数教学目的：掌握隐函数和参数方程确定的函数的求导方法，会求其一二阶导数教学重点：隐函数求导教学难点：隐函数和参数方程确定的函数的二阶导数的求法，幕指函数的求导法教学内容：一、隐函数的导数函数y二/（兀）表示两个变量y与兀之间的对应关系，这种对应关系可以用各种不同方式表达。前面我们遇到的函数，例如y=sinx,y=lnx+J1-兀？等,这种函数表达方式的特点是：等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，当自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值。用这种方式表达的函数叫做显函
2、数。有些函数的表达方式却不是这样，例如，方程兀+b_l=O表示一个函数，因为当变量％在（-oo,+oo）内取值时，变量y有确定的值与之对应。例如，当兀=0时，y=l；当x=-l时，y=迈，等等。这样的函数称为隐函数。一般地，如果在方程F（x,y）=0中，当兀取某区间内的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y值存在，那么就说方程F（x,y）=0在该区间内确定了一个隐函数。把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。例如从方程x+/-l=0解出歹=旳二匚，就把隐函数化成了显函数。隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的。但在实际问题
3、中，有时需要计算隐函数的导数，因此，我们希望有一种方法，不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来°下面通过具体例子来说明这种方法。例1：求由方程ey+xy^-e=0所确定的隐函数y的导数牛。解：我们把方程两边分别对x求导数，注意y是x的函数。方程左边对x求导得dxVdxdx方程右边对求导得（0）'=0。由于等式两边对x的导数相等，所以4+y+Q=0,dxdx从而—=（X+£'工0）。dx兀+0、在这个结果中，分式中的y是由方程R^xy-e=O所确定的隐函数。隐函数求导方法小结：(1)方程两端同时对兀求导数，注
4、意把y当作复合函数求导的中间变量來看待，例如(ln)，)r=-yy(2)从求导后的方程中解出来。(3)隐函数求导允许其结果中含有y。但求一点的导数时不但要把x值代进去，还要把对应的y值代进去。例2：xy--ey=e，确定了y是兀的函数，求y'(0)。解：y+xy+Ry'=O,yf=,vx=0时y=l,/.yz(0)=-—ox--eye例3：函数y=y(x)由方程sin(x2+y2)4-ex-xy2=0所确定，则©=dx解：方程两端求微分得cos(x2+y2)(2xdx+2ydy)+exdx一y2dx一2xydy=0所以电=2
5、xcosC?+y2)+『—y2dx2xy一2ycos(x2+y2)例4：已知产二严二求冬，与dxdx「解：两边取对数122y—ln(x+y)=arctan—2x所以型=凹，与=空字dxx-ydx~(x-yY二、取对数求导法对于幕指函数y=u(xY{x}是没有求导公式的,我们可以通过方程两端取对数化幕指函数为隐函数，从而求出导数y。例5：求j=xsint(x>0)的导数。解：这函数既不是幕函数也不是指数函数，通常称为幕指函数。为了求这甫数的导数，可以先在两边取对数，Winy=sinx-Inx；上式两边对x求导，注意到y是x的函数，得
6、-y=cosx-lnx+sinx--,y兀于是/•,sinxcosx-lnx+=xsinv/•、(sinx)cosx-lnx+(兀丿Ix丿/yy由于对数具有化积商为和差的性质，因此我们可以把多因子乘积开方的求导运算，通过取对数得到化简。例6：求y=沪-呼-牛的导数。VU-3)(x-4)解：先在两边取对数(假定兀＞4),得Iny=^[ln(x-l)+ln(x-2)-ln(x-3)-ln(x-4)],上式两边对x求导，注意到y是x的函数，得于是(11x-2x-21x-3当xvl时,I(1_x)(2_Q〉r(3-0(4-x)：当2<
7、x<3时,=((兀-1)(兀.V(3-x4-x)用同样方法可得与上血相同的结果。注：关于幕指函数求导，除了取对数的方法也可以采取化指数的办法。例如疋=『讥,这样就可把幕指函数求导转化为复合函数求导；例如求〉，=%"+◎*的导数时，化指数方法比取对数方法来得简单，且不容易111错。三、由参数方程确定的函数的导数若由参数方程兀二加)y=池)确定了y是兀的函数，如果函数兀0(门具有•单调连续反函数t=(p{x),且此反函数能与函数尸叭)复合成复合函数，那么由参数方程lx=(Py所确=妙(/)定的函数可以看成是由函数y二呎"、t=^(x
8、)复合而成的函数y=p[0(x)]。现在，要计算这个复合函数的导数。为此，再假定函数x=(p(t).y=^(r)都可导，而且0()"。于是根据复合函数的求导法则与反函数的导数公式，就有dy_dydt_dy1_———•———.——dxdtdxdtdx
