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《数学分析六章不定积分(1)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第六章不定积分第一节不定积分的概念正如加法冇其逆运算减法，乘法冇其逆运算除法一样，微分法也冇它的逆运算——积分法，我们己经知道，微分法的基木问题是研究如何从已知函数求出它的导函数，那么与之相反的问题是：求一个未知函数，使其导函数恰好是某一己知函数，提出这个逆问题，首先是因为它出现在许多实际问题之中，例如：已知速度求路程；已知加速度求速度；己知曲线上每一点处的切线斜率(或斜率所满足的某一规律)，求曲线方程等等，本章与其后两章(定积分与定积分的应用)构成一元函数积分学.一、原函数与不定积分定义6-1设函数/与F在
2、区间/上都有定义.若Fx)=f(xxel,则称F为/在区间I上的一个原函数.例如丄兀2是兀在(_8,-poo)上的一个原函数,因为(丄X2)'=x；又如sin兀与sin兀+1都是22cos兀在(-oo,+oo)上的原函数，因为(sinxY=(sinx+l)z=cosx.如果这些简单的例子都可以从基木求导公式反推而得的话，那么12F(x)=xarctanx-—ln(l+x^)是/(x)=arctanx的一个原函数，就不那样明显了•事实上，研究原函数必须解决下面两个重要问题：1•满足何种条件的函数必定存在原函
3、数?如果存在，是否唯一？2.若己知某个函数的原函数存在，又怎样把它求出来？关于第一个问题，我们用下面两个定理來回答；至于第二个问题，其解答则是本章接着要介绍的各种积分方法.定理6-1若函数/在区间I上连续，则/在/上存在原函数F，即Fx)=/(x),xg/.由于初等函数在其定义区间上为连续函数，因此每个初等函数在其定义区间上都冇原函数(只是初等函数的原函数不一定仍是初等函数).当然，一个函数如果存在间断点，那么此函数在其间断点所在的区间上就不一定存在原函数.定理6-2设F是/在区间/上的一个原函数，则①F+
4、C也是/在/上的原函数，其中C为任意常量函数;证明①这是因为[F(x)+C],=F,(x)=f(x),xeI.②设F和G是/在/上的任意两个原函数，则冇[F(x)一G(x)y=Fx)-G'(x)=f(x)-/(x)=O,xgI根据第五章拉格朗口中值定理的推论，知道F(x)-G(x)=C,xg/.定义6-2函数/在区间/上的全体原函数称为/在/上的不定积分，记作：J/(x)dx,(1)其屮称J为积分号，/(x)为被积函数，/(劝加为被积表达式，兀为积分变量.尽悸记号(1)中各个部分都冇其特定的名称，但在使用时
5、必须把它们看作一整体.由定义6-2可见，不定积分与原函数是总体与个体的关系，即若F是/的一个原函数，则/的不定积分是一个函数族{F+C},其中C是任意常数.为方便起见，写作Jf(x)dx=F(x)+C.(2)这时又称C为积分常数，它可取任意实数值.于是又有[J/(x)M=[F(x)4-C]z=/(x),(3)町fMdx=dF(x)+C)=f(x)dx.(4)按照写法(2),本节开头所举的几个例子可写作fx2rZr=-x3+C,J3[sin2xdx=——cos2兀+C,J2Jarctanxdx=xarctan
6、x-
7、ln(l+x2)+C.此外，一个两数“存在不定积分”与“存在原函数”是等同的说法.不定积分的几何意义：若F是/的一个原函数，则称y=F(x)的图像为f的一条积分曲线.(女I图6~1)于是，/的不定积分在儿何上表示/的某一积分曲线沿纵轴方向任意平移所得一切积分Illi线纽成的Illi线族.显然，若在每一条积分Illi线上横坐标相同的点处作切线，则这些切线互相平行.在求原函数的具体问题中，往往先求出全体原函数，然后从中确定一个满足条件F(x0)=y0(称为初始条件，它由具体问题所规定)的原函数，它就是积分曲
8、线族中通过点(勺,％)的那一条积分曲线.例如，质点作匀加速直线运动吋，曲)=『(/)=0,则v(f)=jadt=Gf+C.若已知v(r0)=v0,代入上式后确定积分常数C=v0-at()于是就冇v(O=(7(r-ro)+vo乂因/(r)=y(z)所以乂有s(r)=]*[曲-4)+如力若已知5(/0)=%,则C{=SO-VQtQ代入上式得到s(f)=-a(t-t0)2+v0(Z-f0)+50二、基本积分表怎样求原函数？读者很快就会发现这要比求导数困难得多.原因在于原函数的定义不像导数定义那样具冇构造性，即它只告
9、诉我们其导数恰好等于某个已知函数厂，而没有指岀怎样山厂求出它的原函数的具体形式和途径因此，我们只能先按照微分法的已知结果去试探.首先，我们把基本导数公式改写成基本积分公式:1.^Qdx=C.2J1dx=Jdx=x+C.3.xaclx=^—+C(a^-,x>QJa+4.5.^—dx=In
10、x
11、+C(兀主0).fexdx=ex+C.x6.faxdx=———C(fz>0,dH1).」Ina7.Jc
