第二章波函数和薛定谔方程b

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1、第二章波函数和薛定铐方程§2.1学习指导本章主要介绍微观粒子运动状态的描述方法、演化规律以及由此带来的新特点，并以一维情况作例子进行具休说明。根据实验，微观粒子具有波粒二象性。经典波一般用振幅A(r,r)与位相cpGM來描述,它们可以统一写为屮=严曲),在量子力学屮沿用处标与时间的复值函数屮(>,/)來描述微观粒了的运动状态，称为波函数。经典情况下，模方

2、屮(r,r)I2表示波的强度；量子情况下，I屮(X/)

3、2表示粒子出现的概率密度，因此需要把波函数归—•化。波函数随时间的变化由薛定铐方程确定。按照波函数的演化形式，粒子运动可以分为定态和非定态。在定态小，粒子的概率密度不

4、随时间变化。按照定态波函数的空间形式，粒子运动可以分为束缚态和非束缚态。在束缚态中，粒子的能最取离散值，形成能级，可以很好地说明原子光谱。散射态是典型的非束缚态，可以用来描述粒子Z间的碰撞，解释微观粒子的隧道贯穿现象。真实的物理空间是三维的，但是当系统具有某些对称性时，可以约化为一维问题，例如中心势场屮粒子的径向运动。近来，实验屮也制备出了某些类型的一维量子力学系统。一维薛定谱方程容易求解，便于初学者理解量子力学的基本概念、熟悉常用方法和领会核心思想。木章的主要知识点有1.微观粒子运动状态的描述1)波函数波函数屮(,,/)是描述微观粒了状态的复值函数，波函数需要满足的标准条

5、件为单值性、连续性和有界性。实际体系波两数满足平方可积条件，即刖屮必)f血=矿<8。2)波函数的意义波两数的模方w

6、T(r,r)

7、2给出/时刻粒子出现在位置r邻域单位体积内的概率，即概率密度。因此，标准的波函数应该是归一化的，即满足归一化条件(2-1)刖屮(诃d"l未归一化的波函数町以通过乘以一个归一化因子来实现归一化。3)波函数的性质(2-2)波函数屮(”J)满足叠加原理，如果T.(r,r),z=l,2,L为微观粒子的可能状态，则•C；•屮,(r,r),cigC(2-3)也是一个可能的状态。1.微观状态的演化1)薛定谡方程状态屮(，,/)随时间演化满足薛定谒方

8、程dv八v山丫屮(,』)=丹屮(厂)(2-4)3/,2其中H=-—V2+ty(r,r)(2-5)2m称为哈密顿算符，(/(r,r)是势能。若已知初始状态屮(r,0),由薛定谡方程可求出任意时刻/的状态屮(r,0o2)连续性方程山薛定谱方程可以推出连续性方程vV-J=0(2-6)dtV/h其中丿=_竺(屮V屮一屮7屮木)(2-7)2m称为概率流密度，即沿着给定方向单位时间通过单位截面的概率。连续性方程是概率守恒定律的定域表现。3)定态薛定说方程若体系的哈密顿乃不显含时间，即势场U不含丫时・，薛定帶方程可以分离变量，得到V7—E(定态波函数解屮E(r,t)=i//E(r)e

9、h(2-8)其中E为能量本征值，0£(畀)为对应的木征函数，满足定态薛定帶方程2-学+UCw”)=EWeC)(2-9)2m2.一维朿缚定态问题1)问题的描述一维束缚定态问题由下面的方程和边界条件组成_h2£^U）+［/（xW）=Eg）(2-10)<2mdx^屮（x）bi〉0其屮束缚态能量满足条件£<（/（±OO）02）束缚定态解的性质束缚定态中的能量取值不连续，形成能级。同一能级只对应一个本征函数，无简并现象。笫n个能级E“,nwN对应的本征函数i//H（x）n个内部零点（不包括边界）。束缚态本征函数0”（x）町以归一化，归一化后的本征函数满足正交归一性(2-11)本征畅数

10、集合具有完备性，任何平方可积函数0（x）都可以展开为归一化本征函数的线性组合，即妙⑴=》£$©）（厶12）其中展开系数为c“=J.0：（兀妙（兀）必（2-13）3）典型实例：一维简谐振了一般的解析势阱在其极小值附近都可以近似为简谐振子势，其标准形式为（/（X）=lfct2=^mafx2在上述势场中，粒子作束缚运动，能级为E”=（"+；）h0nwN对应的本征函数为--a2x2i//fi（x）=Nlte2Hfl（ax）其屮H“（x）为厄密多项式，参数a=yjmco/h简谐振/的本征函数满足递推关系(2-14)(2-15)（2-16）归一化系数N”二巫/J石25!。W”（兀）=丄

11、［JX-i（X）+罟必+i（劝］a（2"）士%（兀）=a［似I⑴一檸％（型1.一维散射问题1）问题的描述以能量£>f/(±oo)口左边向势场t/(x)入射的粒子满足卜•面的方程和边界条件hd0(x)*ugg)=Eg)2mdx1(2-18)其中k=y/2m[E-U(-^]/h2为入射波波数，k=y/2m[E-U^)]/h2为透射波波数。2)问题的意义在上血的问题中，入射波的概率流密度为J=hkA^/m,反射波的概率流密度为JR=-hkA^/mf透射波的概率流密度为JD=hk'C^Im.由此得到反射系数/?和透射