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《n维向量与向量空间习题解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第三章n维向量与向量空间1.已知况=（3厂1，5）0=（321），求2d—卩了3、厂3、<3、解：2d-卩=2-1—2=-4<5>丄02.把向量卩表示成向量组a1,a2,ava4线性组合:（1）卩‘=（1,2丄i）g=（1」丄i）a=（i丄—1厂1）“=（i厂1丄—1）皿=（i—）；解：设卩=/ai+Z:2a2+X^a3+Z:4a4,先将这组关系写成线性方程组:£]+&—&—比4=2*1_“2+*3_*4=1利用矩阵的初等变换解方程组01000010丄20丄_2>（111fl111n11-1-12Li（123）、00-2-211-11-11/0-20-
2、20b-1-1-11丿<0-2-2-2oj1.<10121010]、11・1"<100200001]1・»0020000200<01110丿<00011271000解得：=1,k2=*，比3=0,山=一*所以⑵卩'=（oaai）q=（1,1丄i）a=（1丄一=（i,—i丄一i）e；=（—i）解：设卩=々爲+心佝+怎码+心暫，那么先将这组关系写成线性方程组，再利用矩阵的初等变换解方程组(a19a2,a3,a4
3、p)T11-1-11-110、00L2丄'1丄*212>解得:k=_,kr=，比3=，&=—'所以2_2、22111B=—(X]Ct?(I-222
4、23.己知ana2,a3线性无关，证明+a2,a2+a3,a3+at也线性无关。解：假设a1+a2,a2+a3,a3+ai线性相关,则存在一组不全为零的数&也代,使得/(di+a2)+^2(a2+a3)+Z^(a3+aj=0g+&)(X[+伙]+^2)a2+伙2+^3)«3=0k、+&=0由于a19a2,a3线性无关，“&+匕=0=>&=0,&=0,比3=0；k2+ky—0与“&土2代不全为零”的矛盾，所以假设不真.4.设/］』2,tr.r5、,贝】J何（X
6、+级2++k®r++kjr=0注意这个方程组的前厂个方程+kr=0+vr1=°+krtr=0仏厂+s『+只有零解，因为其系数行列式为范德蒙行列式:11l2r-1.r-11h这说明：向量组ana2,,%的秩是/?(«!，a2,,ar)=r,所以，a19a2,，％是线性无关的。5.已知g=(1,2,3),a；=(3,-1,2),a；=(2,3,c)，问：(1)c为何值时，ana2,a3线性无关？(2)c为何值时，apa2,a3线性相关？k、+3kr+2kg=0解：设+k2a2+fc3a3=0*2何_他+3&=03k+2k2+ck3=0此方程
7、组的系数矩阵的行列式为132132a,,a2,a3
8、=2-13込2斤，$3斤0-7-132c0-7c-61324-r20-7-100c-5(1)当CH5时，行列式国工()，按照线性齐次方程组的Cramer法则，方程组有唯一的零解：«=比2=&=0,说明a],a2,a3线性无关。(2)当c=5时，行列式
9、A
10、=0,按照线性齐次方稈组的Cramer法则，方程组有非零解。说明(X
11、,旳,5线性相关。6.求下列向量组的极大无关组：(1)«；=(6,4,1,—1,2),a；=(1,0,2,3,-4),g=(1,4,—9,—16,22),厲=(7,1,0-1,3)；
12、解：注意：矩阵的秩等于其列向量组的秩。找出极大无关组也就是要寻求这个向量组的秩。利用初等变换法(6410147、1（叫，。2'。3』4）=12-90-13-16-1<2-4223丿12-90、4041々一钳23V6117々一6斤心+斤-13-16-1乙-2斤<2-4223丿0 (1117、0-84010-1155705-25-7,0-8403丿<12-901-5一乔＞000a+1r&-5勺~0000001845838Q2010000k00-9-5000845V0故极大线性无关组为：a19a2,a4或伽卫3,5(2)g=(1,—124)屈=(0,3丄2)
13、皿=(3Q7,14)q；=(h—120)越=(2丄5,6)；'10312、10312解：（叫,（/2少3,5，。5）=-130-11△合、0330321725心+4斤0110121406><022-4-21（10312)乔L2>01101□-2耳00000000-4-4.故极大无关组为：a19a2,a4或％卫2少5或4或ana3,a5(3)a；=(l,l,3,l),a；=(—1,1,—l,3),a；=(5,—2,&—9),4=(—1,3,1,7)；<1-15-r<1-15-n11-23々一/j02-74解：(al,a2,ava4)=、1zLzJ"气厂3-
14、181ar02-74<13-97,<04-14Q-15-1、02■-74ry~r
