11数列的概念与特点

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1、数列的概念与特征【知识点精讲】1、数列：按照一定次序排列的一列数（与顺序有关）2、通项公式：数列的第n项务与n之间的函数关系用一个公式来表示an=f（n）o（通项公式不唯一）3、数列的表示：（1）列举法:如135,7,9......;（2）图解法:由（n,aj点构成;⑶解析法:用通项公式表示，如an=2n+l⑷递推法:用前n项的值与它相邻的项之间的关系表示各项，如a1=l,an=l+2an.14、数列分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列;5、任意数列｛aj的前n项和的性质Sn=ai+a2+a3+……+a.an=S]G=

2、1)S”-S,_(n>2)6、求数列中最大最小项的方法：最大最小an§5+1J§an-l7.数列与函数数列可以看作是一个定义域为正整数集N+（或它的有限子集⑴23…，77｝）的函数，当口变量从小到大依次取值吋，该函数对应的一列函数值就是这个数列.&数列的单调性名称定义表达式递增数列从第二项起，每一项都大于它前面的一项%>an递减数列从第二项起，每一项都小于它前面的一项Van常数列各项都相等厲+1=an摆动数列从第2项起，有些项大于它的前1项，有些项小于它的前1项的数列2.如何判定数列的单调性?提示：作差比较法①若-5>0恒成立，则数列｛期｝是递增

3、数列.②若-a”vo恒成立，贝懺列伽｝是递减数列.③若an+~an=°恒成立，则数列伽｝是常数列.【例题选讲】例2・观察下列数列的特点，用适当的数填空(1)1,4,9,(),25,36(2)1,1小,(1),(V7,),112丿2x1'2x2'2x4'2x5⑷血•(¥)〃5/32,(•昭2)例2、根据下面各数列前几项，写出一个通项(2)7,77,777,777,...;(4)5,0,-5,0,5,0p・5Q…;(5)1,0,1,0,1,0,...；解：(l)an=(-l)n(6n-5);⑵二#10"-1）⑶〜2n(2n一1)(2/?+1)u.

4、n7t5sin——2(hgN^,an=sin2—(neN*)［点评］根据数列前几项的规律，会写出数列的一个通项公式。—1/■I9n~—9m+2〕例3、已知数列｛；>［9n2-lJ（1）求这个数列的第10项；（2）竺是不是该数列屮的项，为什么？101解:设/⑺）=9n2-9/1+29n2-l_3“_2—3〃+1（1）令n“0,得第10项；％（）=—32（2）令却二2二竺，得9^=300,此方程无H然数解，所以不是其中的项3〃+1101［点评］数列问题转化为解方程，注意正整数解例4、下面各数列的前n项和Sn的公式，求｛aj的通项公式.⑴Sn=2n

5、2-3n（2）Sn=3n-2由于“也适合此等式，所以色=4/2-5⑵％=S］二一1，当n$2时，an=S“一S-]［点评］已知数列前n项和sm相当于知道了n^2时候a/旦不可忽视n=l.即an=n”一1n=ln>2例5•已知数列｛"｝中,an=n2-8/i⑴画出｛d讣的图像;(2)根据图像写出数列｛%｝的增减性・【思路点拨】⑴当gN亠时,分别在平面直角坐标系中描出点(6弔)即可.(2)图像的上升或下降显示数列的增减性.【解】⑴列表n123456789•••an・7-12-15-16-15-12・709•••描点：在平面直角朋标系中描出下列各点即得

6、数列｛6｝的图像：(1,-7),(2,-12),(3,-15),(4,-16),(5,一15),(6,一12),(7,一7),(8,0),(9,9),…图像如图所示.⑵数列9门｝的图像既不是上升的，也不是下降的，则｛肋｝既不是递增的，也不是递减的.【误区警示】画数列的图像的方法仅有描点法，其步骤是：①列表；②描点.要注意描点后不能连线，这是由于数列的定义域是N+・例6：判断数列｛兀*了｝的增减性.【思路点拨】利用数列的性质，或利用函数知识求解.【解】•an=3n+rn+1n+1°n+1=3(n+l)+l=3n+4,n+1n则g—有亦—E(n+l)

7、(3n+1)—n(3n+4)1(3/?+4)(3/?+l)=(3n+4)⑶2+I)'*/z?eN+,a/t+i—<3w>0,即an+>an,・°・数列｛■^qyj-｝为递增数歹Q.【规律小结】判断一个数列的增减性，常常用作差的方法，通过判断差的符号来确定.对nWN+,当an+l—an>0时，｛an｝为递增数列；当an+l—an<0时，｛an｝为递减数列；当an+l—an=Q时，｛“｝为常数列；当an+1—an的符号不确定时，｛期｝既不是递增的，也不是递减的，也不是常数列.自我挑战1.观察下列数列的特点，用适当的数填空(1)2,(V2),1,1/

8、2(2)2-1,4+—,(8——),16+—234(3)1,V2,(V4),22根据下面各数列前几项，写岀一个通项2414(Dy,—(2