解析几何教案5.1直线与直线的位置关系5.2直线与平面的位置关系

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1、教学课题:§5.1直线与直线的位置关系§5.2直线与平面的位置关系施教时间:2课时教学目标:1•理解空间中直线与直线的位置关系。2.掌握直线与直线的位置关系的判别方法。3.提高学生的空间想象力。教学重点:直线与直线的位置关系与判定。教学难点：2条直线的位置关系与2条直线方向向量的关系的理解。教学过程:一、复习回顾直线的5种形式。引入：空间中两条直线的位置关系有哪些?二、讲授新课1、直线与直线的位置关系如下位置关系：1•共面（在同一平面上直线）（1）相交（2）平行（3）重合2.异面（不在同一平面的直线）.由点Pl（xl,yl,zl）及方

2、向向量儿二仏,",®}所决定的直线l•兀二二z_Z

3、1/]nx(1)和由点P2（x2,y2,z2）及方向向量v2={/2,m2,n2}所决定的直线(2)r・兀一兀2_〉'一)‘2_Z—Z2/2m2n2之间的位置，完全可由向量P}P2^.v2的相互关系确定。从几何上易见，两宜线LI,L2共面与否，由三向量巫，无石共面与否决定，而直线L1与L2是否相交与平行由它们的方向向量兀可是否平行而决定，从而我们有定理3.4：已知肓线LI、L2的对称式方程仃），（2）则（1）L1与L2是异面直线的充要条件是兀2一E歹2一XZ2—Z]/,mxnAH0Z

4、2m2n2即巫，兀石不共面。(2)L1与L2共面的充要条件是。尤2一州力一必22-Zl/jm,n{=0l2m2n2(3)LI与L2相交而不重合的充要条件是LI与L2共面且兀不平行于可，即11：ml：nlH12:m2:n2o(4)L1与L2平行而不重合的充要条件是兀〃石但不平行于孫,即11：ml：nl=12:m2:n2Hx2-xl：y2-yl:z2-zl。(5)LI与L2重合的充要条件是兀〃石〃丽即11：ml：nl=12:m2:n2=x2~xl:y2-yl:z2-zl。证明：•・・片CX]，x，Z])w厶,片={X]，Z，Z]}〃厶巴(

5、兀2'歹2'22)€(2*2={29^29^2:.厶,厶共面o2共面o(v1,v2,M1A12)=0<=>儿一乳mAZ2~Z1n2兀2一坷所以厶与厶界面的充要条件是/.儿一XZ2-Z

6、mx®m2n2=0例1:已知空间两直线的方程1123-x-1y-2z_3厶2：==，~214试判定它们的位置关系，如相交，求出它们的交点。解：直线11通过Pl(0,0,0),方向向量^={1,2,3}o直线12通过P2(l,2,3),方向向量可二{2,1,4}。123于是耳可二{1,2,3},由于123=0214故直线11与12共面，又兀不平行于石，故1

7、1与12相交。为了求交点，将直线11的方程表示为参数方程x二t,y二21,z=31.代入12的对称式方程得t-2=2t-21二3t-34.解这个方程组的解t二1,所以交点为M0(l,2,3)o当然，求相交直线的交点还有其它的方法，大家可以课下想一想。2、直线和平面的位置关系：空间直线与平面的位置关系有相交、平行、在上三种情形。设育线的方程为厶卫_兀0二〉'_儿二z_z°/mn及平面耳的方程兀:Ax+By+Cz+D二0.则直线L与平面的位置关系可如下判别：(1)L与兀相交的充要条件是Al+Bm+CnHO。(2)L与兀平行的充要条件是Al

8、+Bm+Cn二0。(3)L在兀上的充要条件是Al+Bm+Cn二0且AxO+ByO+CzO+D二0。即MO(xO,y0,z0)enof证法一：因为M0(x0,y0,z0)Gl、l//v=±n={A,B,C),所以，1与兀相交+Bm+6H01与j［平行0卩.斤=0且M()笑龙oAZ+Bm+Cn=0且Ar()+By()+Cz0+£>H01在兀上ou•n=0且M()e7T<=>A/+Bm+Cn=0且Ar。+By。+Cz()+D=0证法二：(代数法)将直线1的方程写成参数式x=XQ+It

9、+Cfi)t=-(Ar0+ByG+Cz0+D)⑴当小场+“。吋，t有唯一解，所以，1与兀相交u>ufhOoA/+Bm+Cn/0(2)当Al+Bm+Cn=0,KijAa:0+By0+Cz0+D0时无解，所以1与□平行f—♦ov•/?=OJ1M()住龙oA/+Bm+Cn=01LAr0+By0+Cz0+£>H0(3)Al+Bm+Cn=0,而Ar()+By()+Cz0+D=0时有无穷解，1在兀上=OMA/og^<=>A/+Bm+Cn=O.H.Axo+By0+Cz0+0=0例2：已知直线1和平面兀的方程1:x/l=y/2=z/3,开：3x+2y

10、+z+10二0・试判断1与兀的位置关系，若相交，求1与兀的交点。解:将直线1的方程写成参数式x二t,y二21,z=31.代入平面兀的方程，并化简得，10t+10=0・即t=-l,所以交点为(-1,-2,-3),于是1与兀