[原创]立体几何专题训练--高中数学

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1、立体几何问题1.将两块三角板按图甲方式拼好，其中ZB=ZD=90°,ZACD=30°,ZACB=45。,AC=2,现将三角板ACD沿AC折起，使D在平面ABC上的射影恰好在AB上，如图乙.(1)求证：AD丄平面BDC;⑵求二面角D-AC-B的余弦值；(3)求异面肓线AC与BD所成角的大小.图甲图乙2.如图，在棱长为曰的正方体ABCD-AQCQ中，E、尸分别为棱加和比的屮点，EF交BD予II.(1)求二面角B.-EF-B的正切值;(2)试在棱B】B上找一点鳳使丄平面济3,并证明你的结论；(3)求点。到平面E/Q的距离.3

2、.如图，已知正四棱柱ABCD-A.B.C.D,的底面边长为3,侧棱长为4,连结人3,过A作AFJ_A.fi,垂足为F,且AF的延长线交8出于E。(I)求证：D"丄平面AEC(II)求三棱锥B-AEC的体积(TTT)求二面角B-AE-C的正切值。4.如图，斜三棱柱4BC-A/C，已知侧面BBCC与底面力虑垂直且ZBCA=90°,ZB/C=60°,BC=BB产2,若二面角A-B.B-C为30°,(I)证明AC丄平面BBCC；(II)求4色与平所成角的正切值;(111)在平面AA}B}B内找一点P,使三棱锥P-BB.C为

3、正三棱锥，并求P到平面距离立体几何问题答案1.(1)设D在A3的射影为0,则DO丄平面ABC,・・・DO丄BC,又3C丄84,・・•BC丄平面ADB•••BC丄AD,又AD丄CD,/.AD丄平面BDC(2)由(1)AD丄BD,又AD=,AB=yH,/.BD=1・・.0为AB中点以03为兀轴，OD为z轴，过O且与平行的直线为y轴建系，贝0A(-—,0,0),B(—,0,0),C(—,x/2,0),D(0,0,—)设兀=(兀,y,z)为平面ACD的法2222向量，由^-AC=0,^-AP=0,可得斤=(1,-1,-1),

4、易知冠=(0,0,1)为平面ABC的2.法向量,V33cos=故二面角D-AC-B的余弦值为晅3AC■AD所以所求角为60。(1)连北；B、H,则EF//AC.因为ACIBD,所以血丄亦因为QB丄平面ABCD,所以丄防,所以ZB}HB为二面角B.-EF-B的平面角.在RtAB.BW中，Bg,BH=^a.所以tan"吩箸=2屈(2)在棱上取中点必连,因为矿丄平面B.BDD,，所以EFLDXM・在正方形BB.C.C屮，因为必厂分别为3目，虑的屮点，所以3/丄C.M.又因为D}C}丄平面BCC}B},所以丄g，

5、所以4F丄D.M,所以丄平面EFB「(3)设与平面日砂交于点M则。W为点卩到平面的距离.在Rt△MBQ屮,DR=D、N・D、M.因为D、B、=H,D}M=-a,所以2DR244D}N=^^=-a,故点®到平面EFQ的距离为兰dD、M333(I)vABCD-A.B}CXD,是正四棱柱/.D.Dl平而ABCD连AC,乂底面ABCD是正方形/.AC1BD由三垂线定理知，D.B1AC,同理，D.B1AE,AECAC=A.D.B1平面AEC(11)叫wc"一眈•・•EB丄平面ABC・・・EB的长为E点到平面ABC的距离2D2

6、O•••RtAABE〜RtA.ABEB=——=-••^B-AEC=“E-ABC£B=-x-x3x3x-=—3248'A/4(111)连CF•・•CB丄平而A,B,BA,又BF1AE由三垂线定理知，CF1AE于是，ZBFC为二面角B-AE-C的平面角RArf95在心AABE中，BF=—-—=-,在RtACBF中，tgZBFC=-AE53即二面角B-AE-C的正切角为丿34(1)B^C丄面ABC,因为面BB^QCc面BB^C=BC,AC丄BC,所以AC丄面BB&C・(2)取BQ中点E,连接CE、AE,在ACBB］中，B

7、B、=CB=2,ZCBB、=60°/.CBB,是正三角形，・・.CE丄BB「又AC丄面BB.C.C且3目u面BB.C.C,・••BB］丄AE,即ACEA即为二而角A-B{B-C的平面角为30°,•・・AC丄面BB.C.C,:.AC1CE，在Rt^ECA中，vCE=73,/.AC=CEtan3tf=1,又AC丄面BB©C,・•・ZCB,A即AB.与面BB.C.C所成的线面角，Ari在RDBCA中，tanZCS,A=——=-CB［2(3)在CE上取点片，使沽=彳，则因为0£是4B}BC的中线，・••片是AB、BC的重心

8、，在厶疋①中，过片作片P//CA交AE于P,•••AC丄面BB.CjC,P.P//CA・・・PR丄面CBB「即P点在平面CBB,上的射影是的中心,该点即为所求,且等斗W冷