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1、平面向量的数量积及平面向量的应用【知识梳理】1．平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，把数量
2、a
3、
4、b
5、cosθ叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝
6、a
7、
8、b
9、cosθ，规定0·a＝0.2．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.[来源:学科网ZXXK]3．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，结论几何表示坐标表示模
10、a
11、＝
12、a
13、
14、＝夹角cosθ＝cosθ＝a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0【问题思考】1．若a·b＝a·c，则b＝c吗？为什么？提示：不一定．a＝0时不成立，另外a≠0时，由数量积概念可知b与c不能确定．[来源:学科网]2．等式(a·b)c＝a(b·c)成立吗？为什么？提示：(a·b)c＝a(b·c)不一定成立．(a·b)c是c方向上的向量，而a(b·c)是a方向上的向量，当a与c不共线时它们必不相等．[来源:学§科§网Z§X§X§K]3．
15、a·b
16、与
17、a
18、·
19、b
20、的大小之间有什么关系？提示：
21、a·b
22、
23、≤
24、a
25、·
26、b
27、.因为a·b＝
28、a
29、
30、b
31、cosθ，所以
32、a·b
33、＝
34、a
35、
36、b
37、
38、cosθ
39、≤
40、a
41、·
42、b
43、.【基础自测】1．若非零向量a，b满足
44、a
45、＝
46、b
47、，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为( )A．30°B．60°C．120°D．150°解析：选C ∵(2a＋b)·b＝0，∴2a·b＋b2＝0，[来源:Zxxk.Com]∴2
48、a
49、
50、b
51、cosθ＋
52、b
53、2＝0.又∵
54、a
55、＝
56、b
57、，∴2cosθ＋1＝0，即cosθ＝－.又θ∈[0，π]，∴θ＝，即a与b的夹角为120°.2．已知向量a＝(1
58、，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x＝( )A．－1B．－C.D．1解析：选D ∵a＝(1，－1)，b＝(2，x)，a·b＝1，∴2－x＝1，即x＝1.3．设向量a，b满足
59、a
60、＝
61、b
62、＝1，a·b＝－，则
63、a＋2b
64、＝( )A.B.C.D.解析：选B
65、a＋2b
66、＝＝＝＝.4．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________.解析：因为向量a，b为单位向量，所以b2＝1，又向量a，b的夹角为60°，所以a·b＝，由b·c＝0，得b·[ta＋
67、(1－t)b]＝0，即ta·b＋(1－t)b2＝0，所以t＋(1－t)＝0，所以t＝2.5．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________.解析：选向量的基底为，，则＝－，＝＋，那么·＝·(－)＝2.【考点分析】【考点一】平面向量数量积的概念及运算[例1] (1)已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量在方向上的投影为( )A.B.C．－D．－(2)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是__
68、______．[解] (1)∵A(－1,1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3,4)，∴＝(2,1)，＝(5,5)，因此cos〈，〉＝＝，∴向量在方向上的投影为
69、
70、·cos〈，〉＝×＝.(2)以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，则B(，0)，E(，1)，D(0,2)，C(，2)．设F(x，2)(0≤x≤)，由·＝⇒x＝⇒x＝1，所以F(1,2)，·＝(，1)·(1－，2)＝.【互动探究】在本例(2)中，若四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是AB上的动点，求·的值及
71、·的最大值．解：以A点为原点，AB边所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则正方形各顶点坐标分别为A(0,0)、B(1,0)、C(1,1)、D(0,1)，设E(a，0)，0≤a≤1.·＝(a，－1)·(0，－1)＝a×0＋(－1)×(－1)＝1.·＝(a，－1)·(1,0)＝a＋(－1)×0＝a≤1，故·的最大值为1. 【方法规律】平面向量数量积的类型及求法(1)平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式a·b＝
72、a
73、
74、b
75、cosθ；二是坐标公式a·b＝x1x2＋y1y2.(2)求复杂的平
76、面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简．变式：1．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝________.解析：∵a＝(1,1)，b＝(2,5)，∴8a－b＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．又c＝(3，x)，∴(8a－b)·c＝18＋3x＝30，∴x＝4.2．若e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k
