《数学史教程》PPT课件

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1、数学史教程主讲人孙利－－李文林第八章代数学的新生--01形如(n≥5)的代数方程能否通过只对方程的系数作加减,乘除和求正整数次方根等运算的公式得到?意大利数学家塔塔里亚首先得到的,后来被米兰地区的数学家卡尔丹(1501～1576年)问到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作里。所以现在人们还是叫这个公式为卡尔丹公式(或称卡当公式)。一般的四次方程被意大利的费拉里(1522～1560年)解出。拉格朗日在代数方程解法中有历史性贡献．在论文“关于方程的代数解法的思考”(Réflexionssurleresolutio

2、nalgébriquedesequations，《全集》Ⅲ，pp205—421)中，把前人解三、四次代数方程的各种解法，总结为一套标准方法，而且还分析出一般三、四次方程能用代数方法解出的原因．三次方程有一个二次辅助方程，其解为三次方程根的函数，在根的置换下只有两个值；四次方程的辅助方程的解则在根的置换下只有三个不同值，因而辅助方程为三次方程．拉格朗日称辅助方程的解为原方程根的预解函数(是有理函数)．他继续寻找5次方程的预解函数，希望这个函数是低于5次的方程的解，但没有成功．尽管如此，拉格朗日的想法已蕴含着置换群概念，

3、而且使预解(有理)函数值不变的置换构成子群，子群的阶是原置换群阶的因子．因而拉格朗日是群论的先驱．他的思想为后来的N．H．阿贝尔(Abel)和E．伽罗瓦(Galois)采用并发展，终于解决了高于四次的一般方程为何不能用代数方法求解的问题．阿贝尔奖，2001年挪威政府宣布创设阿贝尔奖。以纪念他诞生200周年。对数学领域中的杰出工作授以阿贝尔奖。奖金为600万挪威克朗，现在约合80万美元。阿贝尔《关于椭圆函数的研究》,椭圆函数论成为19世纪数学研究中最有成效的研究课题.阿贝尔的那篇论文《关于非常广泛的一类超越函数的一般性

4、质的论文》是数学史上重要的工作。挪威天才数学家NielsHenrikAbel(1802—1829)阿贝尔试图解决困扰了数学界几百年的五次方程问题，不久便认为得到了答案。霍姆伯厄（阿贝尔的中学教师）将阿贝尔的研究手稿寄给丹麦当时最著名的数学家达根。达根教授看不出阿贝尔的论证有甚么错误的地方，但他知道这个许多大数学家都解决不出的问题不会这么简单的解决出来，给了阿贝尔一些可贵的忠告，希望他再仔细演算自己的推导过程。就在同时，阿贝尔也发现了自己推理中的缺陷。这次失败给他一个非常有益的打击，把他推上了正确的途径，使他怀疑一个代

5、数解是否可能。十九岁时他终于证明了五次方程不可解。1822年6月，阿贝尔靠着霍姆伯厄和其他教授们的帮助，在克里斯蒂安尼亚大学念完了必须的课程，那时大学和城里人人都知道他是一个了不起的数学天才。可他的父亲已于两年前去世，家里一贫如洗，没钱继续从事数学研究。他的老师和朋友们也很穷，无法再拿出更多的钱资助他去当时世界数学的中心巴黎深造。1823年夏，教天文学的拉斯穆辛教授给阿贝尔一笔钱去哥本哈根见达根，希望他能在外面见识和扩大眼界。从丹麦回来后阿贝尔重新考虑一元五次方程解的问题，总算正确解决了这个几百年来的难题：即五次方程

6、不存在代数解。后来数学上把这个结果称为阿贝尔-鲁芬尼定理。阿贝尔认为这结果很重要，便自掏腰包在当地的印刷馆印刷他的论文。因为贫穷，为了减少印刷费，他把结果紧缩成只有六页的小册子。阿贝尔满怀信心地把这小册子寄给外国的数学家，包括德国被称为数学王子的高斯，希望能得到一些反应。可惜文章太简洁了，没有人能看懂。高斯收到这小册子时觉得不可能用这么短的篇幅证明这个世界著名的问题----连他还没法子解决的问题，于是连拿起刀来裁开书页来看内容也懒得做，就把它扔在书堆里了。埃尔米特(1822---1901年)在评价阿贝尔时写到,他产生

7、的丰富的思想可以使数学家忙碌500年.伽罗华（varisteGalois，1811~1832）法国对函数论、方程式论和数论作出重要贡献的数学家，他的工作为群论奠定了基础；伽罗华通过改进数学大师拉格朗日的思想，即设法绕过拉氏预解式，但又从拉格朗日那里继承了问题转化的思想，即把预解式的构成同置换群联系起来的思想，并在阿贝尔研究的基础上，进一步发展了他的思想，把全部问题转化或归结为置换群及其子群结构的分析。这个理论的大意是：每个方程对应于一个域，即含有方程全部根的域，称为这方程的伽罗华域，这个域对应一个群，即这个方程根的置

8、换群，称为这方程的伽罗华群。伽罗华域的子域和伽罗华群的子群有一一对应关系；当且仅当一个方程的伽罗华群是可解群时，这方程是根式可解的。1829年，伽罗华在他中学最后一年快要结束时，把关于群论初步研究结果的论文提交给法国科学院，科学院委托当时法国最杰出的数学家柯西作为这些论文的鉴定人。在1830年1月18日柯西曾计划对伽罗华的研究成果在科学院举行一