92010年卢湾高三数学模拟考试卷(理)答案

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1、卢湾区2010年高考模拟考试数学试卷（理科）参考答案及评分标准一、填空题（本大题满分56分）1．2．3．4．5．6．7．8．nhenmohen向下的抛物线，uxz9．10．11．12．13．14．二、选择题（本大题满分16分）15．B16．D17．A18．C三、解答题（本大题满分78分）19．（本题满分14分）解：由题设，得，，（6分）方程的两虚根为，，于是，（10分）由，得

2、或．（14分）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解：（1）设，由题设，得，即，解得．故的长为．（6分）（2）以点为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．由已知及（1），可知，，，，设平面的法向量为，有，，4其中，，则有即解得，，取，得平面的一个法向量，且．（12分）在平面上取点，可得向量，于是点到平面的距离．（14分）21．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分．解：（1）由题设，得（），（2分）当时，，当时，，当时，，故（8分）（2）易知当时，为单调递增函数，，（10分）当时，为单调

3、递减函数，，（12分）当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，（证明略），得，故的最大值为，此时．（16分）22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．（1）证明：由及，得，故、、成等比数列．（4分）（2）解：由题设，显然直线垂直于轴时不合题意，设直线的方程为，得，又，及，得点的坐标为，（6分）4因为点在椭圆上，所以，又，得，，故存在满足题意的直线，其斜率．（10分）（3）黄金双曲线的定义：已知双曲线：，其焦距为，若（或写成），则称双曲线为“黄金双曲线”．（12分）在黄金双曲线中有真命题：已知黄金双曲线：的左、右焦点分别是、，以、

4、、、为顶点的菱形的内切圆过顶点、．（14分）证明：直线的方程为，原点到该直线的距离为，将代入，得，又将代入，化简得，故直线与圆相切，同理可证直线、、均与圆相切，即以、为直径的圆为菱形的内切圆，命题得证．（16分）23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．解：（1）由题设，得，即，得，又，于是，故其公比．（4分）（2）设等比数列为，其公比，，（6分）由题设．假设数列为的无穷等比子数列，则对任意自然数，都存在，使，4即，得，（8分）当时，，与假设矛盾，故该数列不为的无穷等比子数列．（10分）（3）①设的无穷等比子数列为，其公比（），得

5、，由题设，在等差数列中，，，因为数列为的无穷等比子数列，所以对任意自然数，都存在，使，即，得，由于上式对任意大于等于的正整数都成立，且，均为正整数，可知必为正整数，又，故是大于1的正整数．（14分）②再证明：若是大于1的正整数，则数列存在无穷等比子数列．即证明无穷等比数列中的每一项均为数列中的项．在等比数列中，，在等差数列中，，，若为数列中的第项，则由，得，整理得，由，均为正整数，得也为正整数，故无穷等比数列中的每一项均为数列中的项，得证．综上，当且仅当是大于1的正整数时，数列存在无穷等比子数列．（18分）4