实变函数试题库5资料及参考答案资料

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1、实变函数试题库及参考答案（5）本科一、填空题1．设为集合，则2．设，如果满足（其中表示的内部），则是3．设为直线上的开集，若开区间满足且，则必为的4．设，则的基数(其中表示自然数集的基数)5．设为可测集，且，则6．设是可测集上的可测函数，则对任意实数，都有是7．若是可数集，则8．设为可测集上的可测函数列，为上的可测函数，如果，则（是否成立）二、选择题1、设是中的可测集，是上的简单函数，则（）（A）是上的连续函数（B）是上的单调函数（C）在上一定不可积（D）是上的可测函数2．下列集合关系成立的是（）（A）　（B）　（C）　　　（D）3.若是闭集，则（）（A）（B）（C）（D）三

2、、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案）1．设，则（）（A）是可数集（B）是闭集（C）（D）中的每一点均为的内点2．若的外测度为0，则（）（A）是可测集（B）（C）一定是可数集（D）一定不是可数集3．设，为上几乎处处有限的可测函数列，为上几乎处处有限的可测函数，如果，则下列哪些结果不一定成立（）（A）存在（B）在上-可积（C）（D）4．若可测集上的可测函数在上有积分值，则（）（A）与至少有一个成立（B）且（C）在上也有-积分值　（D）四、判断题1.可列个开集的交集仍为开集（）2.任何无限集均是可列集（）3.设为可测集，则一定存在集，使，且.（）4.设为零测集，则为上的可测

3、函数的充要条件是：实数都有是可测集（）五、定义题1.可测函数列几乎处处收敛、依测度收敛和近一致收敛的关系？2.可测集上的可测函数与连续函数有什么关系？3.上的绝对连续函数与有界变差函数有什么关系？六、计算题1.设，求.2.求.七、证明题1．设是有界集，则2．上的实值连续函数是可测函数3．设，函数在上有界可测，则在上可积，从而上的连续函数是可积的4．设（）是上的可积函数，如果，则实变函数试题库及参考答案（2）本科一、填空题1.=2.开集3.构成区间4.=5.=6.可测集7.=8.不一定成立二、单选题1.D2.A3.B三、多选题1.AC2.AB3.ABCD4.AD四、判断题××√

4、√五、定义题1.答：设是可测集上的一列可测函数，那当时，于，必有.反之不成立，但不论还是，存在子列，使于.当时，于，由定理可得近一致收敛于，反之，无需条件，结论也成立.2.答：上连续函数必为可测函数但上的可测函数不一定时连续函数，上可测函数在上是“基本上”连续的函数3.答：绝对连续函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为绝对连续函数六、解答题1.证明记是中有理数集，是中无理数集，则，，且，所以.2.解易知对任意，设，，则，当时，，.则是单调减函数且非负（）；又，由单调收敛定理得，即，再由控制收敛定理得七、证明题1..证明因为是有界集，所以存在开区间，使由外测度的单调性，，而

5、（其中表示区间的体积），所以2.证明因为连续，所以对任何实数，是开集，而开集为可测集，因此是可测函数3.证明因为在上有界可测，所以存在，使，，是非负可测函数，由非负可测函数的积分单调性，故在上可积，从而在上可积因为上的连续函数是有界可测函数，所以可积的4.证明对任何常数，所以因此