概率统计7.2点估计的评价标准

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1、§7.2点估计的评价标准对于同一个未知参数,不同的方法得到的估计量可能不同,于是提出问题应该选用哪一种估计量?用何标准来评价一个估计量的好坏?常用标准(1)无偏性(3)一致性(2)有效性§7.2若则称是的无偏估计量.无偏性无偏定义我们不可能要求每一次由样本得到的估计值与真值都相等，但可以要求这些估计值的期望与真值相等.定义的合理性是总体X的样本,证明:不论X服从什么分布(但期望存在),是的无偏估计量.证例1设总体X的k阶矩存在因而由于例1则特别地样本二阶原点矩是总体是总体期望E(X)的样本均值无偏估计量的无偏二阶原点矩估计

2、量例2设总体X的期望与方差存在,X的样本为(n>1).(1)不是D(X)的无偏估量;(2)是D(X)的无偏估计量.证前已证证明例2因而故证毕.例3设是总体X的一个样本,X~B(n,p)n>1,求p2的无偏估计量.解由于样本矩是总体矩的无偏估计量以及数学期望的线性性质,只要将未知参数表示成总体矩的线性函数,然后用样本矩作为总体矩的估计量,这样得到的未知参数的估计量即为无偏估计量.令例3因此,p2的无偏估计量为故例4设总体X的密度函数为为常数为X的一个样本证明与都是的无偏估计量证故是的无偏估计量.例4令即故nZ是的无偏估计量

3、.都是总体参数的无偏估计量,且则称比更有效.定义设有效性有效所以,比更有效.是的无偏估计量,问哪个估计量更有效？由例4可知,与都为常数例5设总体X的密度函数为解，例5例6设总体X，且E(X)=,D(X)=2为总体X的一个样本证明是的无偏估计量(2)证明比更有效证(1)例6(1)设常数(2)而结论算术均值比加权均值更有效.例如X~N(,2),(X1,X2)是一样本.都是的无偏估计量由例6(2)知最有效.罗—克拉美（Rao–Cramer）不等式若是参数的无偏估计量,则其中p(x,)是总体X的概率分布或密度函数

4、，称为方差的下界.当时,称为达到方差下界的无偏估计量,此时称为最有效的估计量,简称有效估计量.例7设总体X的密度函数为为X的一个样本值.求的极大似然估计量,并判断它是否达到方差下界的无偏估计量.为常数解由似然函数例7的极大似然估计量为它是的无偏估计量.而故是达到方差下界的无偏估计量.定义设是总体参数则称是总体参数的一致(或相合)估计量.的估计量.若对于任意的,当n时,一致性依概率收敛于,即一致性估计量仅在样本容量n足够大时,才显示其优越性.一致关于一致性的两个常用结论1.样本k阶矩是总体k阶矩的一致性估

5、计量.是的一致估计量.由大数定律证明用切贝雪夫不等式证明矩法得到的估计量一般为一致估计量在一定条件下,极大似然估计具有一致性2.设是的无偏估计量,且,则例8为常数则是的无偏、有效、一致估计量.证由例7知是的无偏、有效估计量.所以是的一致估计量,证毕.例8作业P.231习题七161820习题补充题设总体X~N(,2),为X的一个样本,常数k取何值可使为的无偏估计量第十四周问题母亲嗜酒是否影响下一代的健康美国的Jones医生于1974年观察了母亲在妊娠时曾患慢性酒精中毒的6名七岁儿童（称为甲组）.以母亲的年龄，文

6、化程度及婚姻状况与前6名儿童的母亲相同或相近，但不饮酒的46名七岁儿童为对照租(称为乙组).测定两组儿童的智商，结果如下：每周一题14甲组67819乙组469916人数智商平均数样本标准差智商组别由此结果推断母亲嗜酒是否影响下一代的智力？若有影响，推断其影响程度有多大?提示前一问题属假设检验问题后一问题属区间估计问题智商一般受诸多因素的影响.从而可以本问题实际是检验甲组总体的均值是否比乙组总体的均值偏小?若是，这个差异范围有多大?前一问题属假设检验，后一问题属区间估计.解假定两组儿童的智商服从正态分布.由于两个总体的方差未知

7、，而甲组的样本容量较小，因此采用大样本下两总体均值比较的U—检验法似乎不妥.故当为真时，统计量采用方差相等(但未知)时，两正态总体均值比较的t—检验法对第一个问题作出回答.为此,利用样本先检验两总体方差是否相等，即检验假设拒绝域为未落在拒绝域内，故接受.即可认为两总体方差相等.下面用t—检验法检验是否比显著偏小？即检验假设当为真时，检验统计量其中嗜酒会对儿童智力发育产生不良影响.落在拒绝域内，故拒绝.即认为母亲下面继续考察这种不良影响的程度.为此要对两总体均值差进行区间估计.取于是置信度为99%的置信区间为由此可断言：在99

8、%的置信度下，嗜酒母亲所生孩子在七岁时的智商比不饮酒的母亲所生孩子在七岁时的智商平均要低2.09到39.91.故限制显著性水平的原则体现了“保护零假设”的原则.[注]大家是否注意到，在解决问题时，两次假设检验所取的显著性水平不同.前者远在检验方差相等时，取;在检验均值是否相等时取.比后者大