点估计的评价标准.ppt

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1、§6.2点估计的评价标准6.2.1相合性我们知道，点估计是一个统计量，因此它是一个随机变量，在样本量一定的条件下，我们不可能要求它完全等同于参数的真实取值。但如果我们有足够的观测值，根据格里纹科定理，随着样本量的不断增大，经验分布函数逼近真实分布函数，因此完全可以要求估计量随着样本量的不断增大而逼近参数真值，这就是相合性，严格定义如下。定义6.2.1设∈Θ为未知参数，是的一个估计量，n是样本容量，若对任何一个ε>0，有则称为参数的相合估计。相合性被认为是对估计的一个最基本要求,如果一个估计量,在样本量不断增大时，它都不能把被估参数估计到任意

2、指定的精度,那么这个估计是很值得怀疑的。通常,不满足相合性要求的估计一般不予考虑。证明估计的相合性一般可应用大数定律或直接由定义来证.若把依赖于样本量n的估计量看作一个随机变量序列,相合性就是依概率收敛于,所以证明估计的相合性可应用依概率收敛的性质及各种大数定律。在判断估计的相合性时下述两个定理是很有用的。定理6.2.1设是的一个估计量，若则是的相合估计，定理6.2.2若分别是1,…,k的相合估计，=g(1,…,k)是1,…,k的连续函数，则是的相合估计。例6.2.2设x1,x2,…,xn是来自均匀总体U(0,)的样本，证

3、明的极大似然估计是相合估计。证明：在例6.1.7中我们已经给出的极大似然估计是x(n)。由次序统计量的分布，我们知道x(n)的分布密度函数为p(y)=nyn-1/n,y<,故有由定理6.2.1可知，x(n)是的相合估计。由大数定律及定理6.2.2，我们可以看到：矩估计一般都具有相合性。比如：样本均值是总体均值的相合估计；样本标准差是总体标准差的相合估计；样本变异系数是总体变异系数的相合估计。6.2.2无偏性定义6.2.2设是的一个估计，的参数空间为Θ，若对任意的∈Θ，有则称是的无偏估计，否则称为有偏估计。例6.2.4对任一总体而

4、言，样本均值是总体均值的无偏估计。当总体k阶矩存在时，样本k阶原点矩ak是总体k阶原点矩k的无偏估计。但对中心矩则不一样，譬如，样本方差s*2不是总体方差2的无偏估计，对此，有如下两点说明：(1)当样本量趋于无穷时，有E(s*2)2，我们称s*2为2的渐近无偏估计。(2)若对s*2作如下修正：则s2是总体方差的无偏估计。例6.2.5设总体为N(,2)，x1,x2,…,xn是样本，则s2是2的无偏估计，且可求出这说明s不是的无偏估计.利用修正技术可得cns是的无偏估计，其中是修偏系数.可以证明，当n时,有cn1.这说明s是

5、的渐近无偏估计。6.2.3有效性定义6.2.3设是的两个无偏估计，如果对任意的∈Θ,有且至少有一个∈Θ使得上述不等号严格成立，则称比有效。例6.2.6设x1,x2,…,xn是取自某总体的样本，记总体均值为，总体方差为2，则这表明用全部数据的平均估计总体均值要比只使用部分数据更有效。例6.2.7均匀总体U(0,)中的极大似然估计是x(n)，由于，所以x(n)不是的无偏估计，而是的渐近无偏估计。经过修偏后可以得到的一个无偏估计：。且另一方面，由矩法我们可以得到的另一个无偏估计，且由此，当n>1时，比有效。6.2.4均方误差无偏

6、估计不一定比有偏估计更优。评价一个点估计的好坏一般可以用：点估计值与参数真值的距离平方的期望，这就是下式给出的均方误差均方误差是评价点估计的最一般的标准。我们希望估计的均方误差越小越好。下面的例子说明：在均方误差的含义下有些有偏估计优于无偏估计。例6.2.8对均匀总体U(0,)，由的极大似然估计得到的无偏估计是，它的均方误差现我们考虑θ的形如的估计，其均方差为用求导的方法不难求出当时上述均方误差达到最小，且其均方误差所以在均方误差的标准下，有偏估计优于无偏估计。本节习题6.一批产品中含有废品，从其中随机抽取75件，发现有废品10件，试估计这

7、批产品的废品率。(极大似然估计)7.设总体密度函数如下,是样本,试求未知参数的矩估计和极大似然估计.9.设是来自均匀总体的一个样本.验证都是的无偏估计;(2)比较上述三个估计的有效性.10.设是来自正态总体的一个样本,对考虑三个估计问哪一个均方误差最小?11.设是来自密度函数为的样本,求的最大似然估计,它是否是相合估计?它是否是无偏估计?求的矩估计,它是否是相合估计?它是否是无偏估计?考虑的形如的估计,求使得的均方误差达到最小的,并将之与,的均方误差进行比较.