次型标准型等知识点

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1、2、了解二次型的标准型,规范型等概念,了解惯性定理会用正交变换和配方法化二次型为标准型.一、标准形的定义定义二次型f(x1,x2,…,xn)经过非退化线性替换X=CY所变成的如下形式(只含平方项)YTBY=d1y12+d2y22+…+dryr2(rn)的二次型称为二次型f(x1,x2,…,xn)的标准形.不难看出，二次型的矩阵B为n阶对角矩阵.B=CTAC=diag(d1,d2,…,dr,0,…,0).由此可知，一个二次型能否化为标准形，等价于该二次型的矩阵A是否与一个对角矩阵合同.1,用正交线性替换法化二次型为标准形定

2、理：对于二次型f(x1,x2,…,xn)=XTAX其中AT=A，则存在n阶正交矩阵P，使得经过线性替换X=PY把XTAX化为标准形.在线性替换X=PY中，矩阵P为正交矩阵.这样的线性替换称为正交线性替换.定理:任一(实)二次型一定可以通过正交线性替换化为标准形例用正交线性替换化下列二次型为标准形,并求出所作的正交线性替换:一般地，用正交线性替换将二次型f(x1,x2,…,xn)=XTAX(其中AT=A)化为标准形的步骤如下:Step1求出二次型矩阵A的全部特征值1,2,…,n;Step2求出正交矩阵P，使PTAP=d

3、iag(1,2,…,n);Step3作正交线性替换X=PY，其中Y=(y1,y2,…,yn)T，则二次型f(x1,x2,…,xn)化为标准形1y12+2y22+…+nyn2.例用正交线性替换化下列二次型为标准形,并求出所作的正交线性替换:三、用配方法化二次型为标准形配方法要求有较强的技巧,考点主要在于解二次型的解!!例用配方法把三元二次型化为标准形，并求所用的线性替换及变换矩阵.并求所用的线性替换及变换矩阵.定理:任何一个n元二次型都可以通过可逆线性替换化为标准形.注意情况!!!关于二次型化为标准型的问题四、用

4、初等变换法化二次型为标准形首先构造2nn矩阵对A每施以一次行初等变换，就对施行一次同种的初等列变换.矩阵A化为对角矩阵时，矩阵E将化为可逆矩阵C.对A施以一系列行初等变换对施以一系列同种列初等变换PsT…P2TP1TAP1P2…PsP1P2…Ps由此可得可逆矩阵C=P1P2…Ps和对应的可逆线性例用初等变换法化二次型为标准形.例用初等变换法化二次型为标准形.五、二次型的规范形一个二次型的标准形不唯一，这与所作的可逆线性替换有关.但是，同一个二次型化为标准形后，标准形中所含的正、负平方项的个数却是相同的.如果二次型f(x1

5、,x2,…,xn)=XTAX(其中AT=A)通过可逆线性替换可以化为y12+…+yp2–y2p+1–…–yr2(prn)则(5.12)称为该二次型的规范形.规范型与标准型的区别是??定理(惯性定理):任一二次型f(x1,x2,…,xn)都可以通过可逆线性替换化为规范形，且规范形是唯一的例如，本节例5中，二次型的标准形为作可逆线性替换则二次型化为规范形记则所作的可逆线性替换为即推论1任意实对称矩阵A合同于对角矩阵在二次型的规范形y12+…+yp2–y2p+1–…–yr2(prn)中，正平方项的个数p称为二次型的正惯性

6、指数；负平方项的个数r–p称为二次型的负惯性指数；它们的差，即p–(r–p)=2p–r称为二次型的符号差.正惯性指数与负惯指数的和为r，恰等于二次型的秩，即二次型矩阵A的秩.推论2两个实对称矩阵合同的充分必要条件是它们具有相同的正惯指数和秩.设A,B均为n阶实对称矩阵,则A,B合同的充要条件是[](A)A,B有相同的特征值(B)A,B有相同的秩(C)A,B有相同的正,负惯性指数(D)A,B均是可逆矩阵