次型及其标准型(简)

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1、5.5二次型及其标准型一、二次型及其标准形的概念二、二次型的表示方法三、二次型的矩阵及秩四、化二次型为标准形图1（1）（2）（3）xyxy一、二次型及其标准形的概念称为二次型只含有平方项的二次型称为二次型的标准形（或法式或规范型）．例如都为二次型；为二次型的标准形.1．用和号表示对二次型二、二次型的表示方法2．用矩阵表示任给一个二次型,就惟一地确定一个对称阵;反之,任给一个对称阵,也可惟一地确定一个二次型,这样,二次型与对称阵之间存在一一对应的关系.解例1三、二次型的矩阵及秩因此,我们把对称阵A叫

2、做二次型f的矩阵,也把f叫做对称阵的二次型,对称阵A的秩就叫做二次型f的秩.设四、化二次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形．证明即为对称矩阵.定义3说明用正交变换化二次型为标准形的具体步骤解1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例2从而得特征值2．求特征向量3.（1）将特征向量正交化得正交向量组3.(2)将正交向量组单位化得正交阵4.所求正交变换为五、小结1.实二次型的化简问题，通过在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称

3、矩阵化为对角矩阵，而这是5.4节已经解决的问题，请注意这种研究问题的思想方法．2.实二次型的化简，并不局限于使用正交矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运算更快的可逆变换．下一节，将介绍另一种方法——拉格朗日配方法．本章补充例题：例1：设3阶方阵特征值为对应的特征向量依次为求解根据特征向量的性质知可逆,且:可得得例2：设3阶对称矩阵与特征值6对应的特征向量为,求解设由知①的特征值6，3，3，3是二重特征值,根据实对称矩阵的性质定理知的秩为1，故利用①可推出秩为1.则存在实的使得②成立．由①②解

4、得得