《系统的数学模型》PPT课件

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1、第二章系统的数学模型所谓系统的数学模型就是描述系统输入输出关系的数学表达式。建立起控制系统的数学模型，并在此基础上对控制系统进行分析、设计、综合，是控制系统的基本研究方法。本章主要内容1）线性微分方程式的建立及微分方程线性化的方法2）拉普拉斯变换及传递函数概念3）系统方块图和信号流程图的概念第一节引言一、系统的数学模型数学模型就是系统的输出与输入间的数学表达式。分为静态模型和动态模型。静态模型：在静态条件下得到的方程。一般用代数方程来表示。动态模型：在动态条件下得到的方程。一般用微分方程式来描述。工程上常用的数学模型包括微分方程、传递函数和状态方程，微分方程是基本的数学模型，是列写传递函数的

2、基础。系统的数学模型可以从理论分析和试验的方法来获取，两种方法是相辅相成的。理论分析可以大致确定数学模型的阶次、参数与结构，而试验的方法可以最终确定数学模型的形式。从理论上建立系统的数学模型，常称为理论建模。这往往是困难的。为建立一个系统的理想的数学模型，必须注意到以下几点：1、必须对元件或系统的构造、工作情况有足够的了解。分布参量集中化。非线性因素线性化。时变参量定常化。3、不同元件或系统应采用与之相应的物理定律来建立输入与输出的关系。如机械系统常用牛顿定律、电气系统采用基尔霍夫定律等。这是建立数学模型的基础。2、忽略一些次要的因素，进行合理的简化。忽略次要因素或数值上比较小的因素。二、线

3、性系统如果系统的数学模型是线性的，这种系统称为线性系统。一个系统，无论是用代数方程还是用微分方程来描述，其组成项的最高指数称为方程的次数。一次微分方程叫做线性微分方程；除此以外非一次的微分方程称为非线性微分方程。微分方程中，无论是因变量或者是它的导数，都不高于一次方，并且没有一项是因变量与其导数之积，则此微分方程就是线性微分方程。用这种方程描述的系统称为线性系统。下列微分方程描述的系统为线性系统。下列微分方程描述的系统为非线性系统。1.线性系统的齐次性如果系统在输入x(t)作用下的输出为y(t)，并记为x(t)→y(t)则kx(t)→ky(t)称为齐次性。式中k为常数。线性系统具有齐次性。线

4、性系统最重要的特性，就是叠加原理。若系统在输入x1(t)作用下的输出为y1(t),而在另一个输入x2(t)作用下的输出为y2(t)，并记为x1(t)→y1(t)x2(t)→y2(t)则以下关系x1(t)+x2(t)→y1(t)+y2(t)称为叠加性或叠加原理叠加原理说明，两个不同的输入函数，同时作用于系统的响应，等于两个输入函数单独作用的响应之和。因此，线性系统对几个输入量的响应，可以一个一个的处理，然后对它们的响应结果进行叠加。2.线性系统的叠加性三.非线性系统用非线性方程表示的系统，叫做非线性系统。虽然许多物理关系常以线性方程来表示，但是在大多数情况下，实际的关系并非是真正线性的。事实上

5、，对物理系统进行仔细研究后可以发现，即使对所谓的线性系统来说，也只是在一定的工作范围内或忽略去那些影响较小的非线性因素所引起的误差，工程上又允许的话，这一系统就可以作为线性系统来处理。图2-1为工程上常见的非线性特性曲线。当输入信号较小而工作在线性区时，可看作线性元件；当输入信号较大而工作在饱和区时，就必须作为非线性元件来处理。在实际系统中，有时还人为的引入饱和特性，以便对控制信号进行限幅，保证系统或元件在额定或安全情况下运行。饱和非线性当输入信号在一定范围内变化时，具有饱和特性的环节其输入输出呈线性关系；当输入信号x的绝对值超出其线性范围后，输出信号不再随输入信号变化而保持在一常值上。具有

6、饱和特性的元件如放大器、调节器等。只有当输入信号幅值大于某一数值时才有输出，且与输入呈线性关系。例如各种测量元件的不灵敏区，调节器和执行机构的死区，以及弹簧预紧力等。当死区很小时，或对系统的性能不会产生不良影响时，可将它作为线性特性处理；当死区较大时，将使系统静态误差增加，有时还会造成系统低速不平滑性。在工程实践中，为了提高系统的抗干扰能力，有时故意引入或增大死区。死区非线性死区特性又称不灵敏特性，图中横坐标为输入，纵坐标为输出。由此可见，当输入信号在零附近变化时，系统输出为零。间隙非线性传动机构的间隙也是控制系统中一种常见的非线性特性现象。在机械传动中，由于加工精度的限制及运动件相互配合的

7、需要，总会有一定的间隙存在。例如齿轮传动，为保证转动灵活不发生卡死现象，必须容许有少量间隙。由于间隙的存在，当机构做反向运动时，主动齿轮（其转角为输入信号x(t)）总要转过间隙量2x的空行程后才能推动从动齿轮（其转角为输出信号y(t)）转动，形成如图所示的环状间隙特性。在机械传动中，摩擦是必然存在的物理因素。例如执行机构由静止状态启动，必须克服机构中的静摩擦力矩y1。启动之后，又要克服机构中的动摩擦力矩y2。