高维欧氏几何学

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1、高维欧氏几何学白话高维欧氏几何学的思路和方法【摘耍】要在现实的三维的世界里表示一个n维的世界，那么，这个被农示的“n维世界”里将令n-3个两两垂直的方向是看不到的。就是说，如果硬要搞出一个“n维直角坐标系”则要有n-3个坐标轴无法画出。《离维欧氏儿何学》和《画法儿何》都成功地解决了这个问题，但《画法几何》的方法由于没冇与相应的变换武相联系，n维空间中一个点要用n-3个线段去表示，方法过于复杂，因而收效甚微；《髙维欧氏儿何学》由于采用了“关系”法，一个点状图形可以表示n维空间屮n-3个线性无关的向杲，因而收获巨大。【关键词】斜轴变换，斜轴画法，主垒向，主垒空间，泛点《高维欧氏几何学》右别于其它任

2、何所谓的高维几何，主要表现在它成功地解释了奇维欧氏空间的主要的几何现象，并将《线性代数》中的相关内容推进到了儿何化的髙度。它为什么能够取得这么人的成功呢？这主要归功于它那独特而神奇的思路和方法。《高维欧氏几何学》的思路和方法，总称为“关系”法，内屮又包含了“斜轴变换”和“斜轴画法”两项内容，其前者可以看作是思路，而后者可以看作方法。斜轴变换的思路基于这样一种现实：我们所生活的这个lit界是一个三维的lit界，我们要在这个三维的lit界里來表示一个n维的世界，那么，这个被我们所表示“n维世界”里将有n-3个两两垂直的方向是看不到的。就是说，如果硬要搞出一个“n维直角坐标系”则要有n-3个坐标轴无

3、法画出。那么，斜轴变换是如何解决这一难逊的呢？顾名思义，既称“变换”，那一定是与某种变换式结了缘。一次偶然的尝试，竞然意外地导出了一个神奇的结果！这个神奇的“结果”就是那个后來被称作“关系式”的变换式。利用这个变换式，笔者尝试着作出了一个模拟的四维直角坐标系。因为那个变换式反映了一种特定的条件，这个模拟坐标系也是仅仅满足这种特定条件下所作出的，所以我将其称为“持定四维系”。按照那种变换式的条件，在这个四维系屮，第三个唯标轴是倒在前两个朋标轴所在的坐标面的，它倒下去的同时，有一条直线（这直线的方程关于第四个坐标轴的坐标为零）及与这个直线互相平行的所有直线都被压缩成了点状。这种“点状”的图形，与原

4、來坐标系中的“点”就不是同一种意义上的图形了，我将它们称为“泛点”，这些“泛点”因为都表示一条直线，所以它们的足阶阶数为1阶。将那个变换式移项，变换式的左端是一个向量，我发现，这个向量正是那些被压缩为点状的直线的方向，或者说，它的方向是“泛点”所表示的那些直线的方向。现在，在那个特定四维系中，能看见的互相垂直的坐标轴只剩下了三条:第一、第二和第四条（第三条倒在了前两个坐标轴所在的他标Iflik）。我又选择了一条关于这三条塑标轴的处标不为零而关于第三个他标轴的坐标为零的直线，先确定它的方向，与这直线平行的--个向量称作这直线的方向向量。再将这方向向量的右端加上关系号，关系号右端再写上一个0°然后

5、，再移项，这向量的前两项被移往关系式右端，于是又变成了一个新的关系式。按照这个新的关系式，第四个鏗标轴也倒在了前两个坐标轴所在的坐标而上。现在，有着四个坐标轴的一个坐标系.变成了这么一个扁平形状的同样有着四个坐标轴的平面坐标系,我将其暂时称作“转定四维平面”。过这特定四维平面的原点引一条垂直向上的射线作为笫五个坐标轴，就构成一个特定五维坐标系（简称五维系或特定五维系）。这特定五维系中的点状图形也称作“泛点”，这些“泛点”因为表示两条互不平行（但却相交）的直线，因此它们的足阶阶数为2。在这个五维系中，看得见的互相垂直的坐标轴仍然只有三条:第一、第二和第五条。再选择一条关于这三条坐标轴的坐标不为零

6、而关于另外两条倒下去的坐标轴的坐标均为零的直线，确定它的方向向虽，并按照上面的做法将英改写为变换式。那么，这第五个他标轴也倒在了询两个塑标轴所在的处标而上，变成“特定五维平而”。再过这特定五维平而的原点引垂直向上的射线作为第六个维标轴，构成特定六维系。持定六维系中的点状图形仍称作“泛点”，它们的足阶阶数为3。再找一关于第六、第-•和第二坐标轴堆标不为零而关于第三、第网、第五堆标轴朋标为寥的直线，确定方向向量，改写为变换式，构造持定七维系……。照这个思路一直做F去，我们终究会做出一个持定n维系°这特定n维系中的点状图形同样称作“泛点”，因为它们表示n-3条互不平行但却能相交于一点的直线，所以，它

7、们的足阶阶数为n-3。这里，我们将n维空间中那看不见的n-3条坐标轴改为n-3条直线，那n-3条坐标轴就变为可以看到了。这n-3条直线虽然变为看不见了，但是在相应的变换式中可以得知他们的方向。说完了基本思路，现在该说说皋本方法了。基本方法是“斜轴画法”。基本方法的前提，是我们将持定n维系中的所有图形都看作泛点的“轨迹”。当一泛点沿着一个方向均匀平行移动时，它的后面就留下一条痕迹，这条痕迹就称为它移