平面向量的概念及线性运算资料

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1、平面向量的概念及线性运算知识点：1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小，又有方向的量统称为向量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±平行向量如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线0与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运

2、算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)

3、λa

4、＝

5、λ

6、

7、a

8、；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λaμa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb103.向量共线的判定定理a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零

9、向量a共线．选择题：给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量与相等．则所有正确命题的序号是(　　)A．①B．③C．①③D．①②解析　根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量与互为相反向量，故③错误．已知下列各式：①＋＋；②＋＋＋；③＋＋＋；④－＋－，其中结果为零向量的个数为(　　)A．1B．2C．3D．4解析　由题知结果为零向量的是①④，故选B.设a0为单位向量，①若a

10、为平面内的某个向量，则a＝

11、a

12、a0；②若a与a0平行，则a＝

13、a

14、a0；③若a与a0平行且

15、a

16、＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是(　　)A．0B．1C．2D．3解析　向量是既有大小又有方向的量，a与

17、a

18、a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－

19、a

20、a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.设a0，b0分别是与a，b同向的单位向量，则下列结论中正确的是(　　)A．a0＝b0B．a0·b0＝1C．

21、a

22、0

23、＋

24、b0

25、＝2D．

26、a0＋b0

27、＝2解析　∵是单位向量，∴

28、a0

29、＝1，

30、b0

31、＝1设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(　　)A．a与λa的方向相反B．a与λ2a的方向相同C．

32、－λa

33、≥

34、a

35、D．

36、－λa

37、≥

38、λ

39、·a解析　对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反，B正确；对于C，

40、10－λa

41、＝

42、－λ

43、

44、a

45、，由于

46、－λ

47、的大小不确定，故

48、－λa

49、与

50、a

51、的大小关系不确定；对于D，

52、λ

53、a是向量，而

54、－λa

55、表示长度，两者不能比较大小．设a、b是两个非

56、零向量(　　)A．若

57、a＋b

58、＝

59、a

60、－

61、b

62、，则a⊥bB．若a⊥b，则

63、a＋b

64、＝

65、a

66、－

67、b

68、C．若

69、a＋b

70、＝

71、a

72、－

73、b

74、，则存在实数λ，使得b＝λaD．若存在实数λ，使得b＝λa，则

75、a＋b

76、＝

77、a

78、－

79、b

80、解析　对于A，可得cos〈a，b〉＝－1，∴a⊥b不成立；对于B，满足a⊥b时

81、a＋b

82、＝

83、a

84、－

85、b

86、不成立；对于C，可得cos〈a，b〉＝－1，∴成立，而D显然不一定成立．如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则等于(　　)A．a＋bB.a＋bC.a＋bD.a＋b解析　∵＝－＝a－

87、b，又＝3，∴＝＝(a－b)，∴＝＋＝b＋(a－b)＝a＋b如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　)A．0B.C.D.解析　由题图知＋＋＝＋＋＝＋＝.如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，A＝b，则A＝(　　)10A．a－bB.a－bC．a＋bD.a＋b解析　连接CD，∵C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且＝＝a，∴＝＋＝b＋a已知向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，则(　　)A．A，B，C三点共线B．A，B，D三点共线C．A，C，D三点共线D．B，C

88、，D三点共线解析：∵＝＋＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2，∴、共线，又公共点B，∴A、B、D三点共线设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)A.＝－＋B.＝－C.＝＋D.＝－解析　∵＝3，∴－＝3(－)，即4－＝3，∴＝－＋.设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋等于(　　)A.B.C.D.解析　＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＝在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则等于(　　)10A.b＋cB.c－bC.b－c