无网格法的理论及应用

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1、第39卷第1期力学进展Vol.39No.12009年1月25日ADVANCESINMECHANICSJan.25,2009无网格法的理论及应用*张雄1;y刘岩1;2马上11清华大学航天航空学院,北京1000842DepartmentofMechanicalEngineering,NorthwesternUniversity,U.S.A.摘要详细论述了近年来迅速发展的无网格法的理论基础及其在各个领域内的应用.无网格法网格依赖性弱,避免了传统的有限元、边界元等基于网格的数值方法中可能出现的网格畸变和扭曲,在一些有限元、边界元等方法难以较

2、好处理的领域体现出独特的优势.以加权余量法为主线归纳了已有的30多种无网格法,各类无网格法的主要区别在于使用了不同的加权余量法和近似函数.详尽介绍了各种无网格近似方案(包括移动最小二乘近似、核近似和重构核近似、单位分解近似、径向基函数近似、点插值近似、自然邻接点插值近似等)和无网格法中常用的各类加权余量法(伽辽金格式、配点格式、局部弱形式、加权最小二乘格式和边界积分格式等),并讨论了数值积分方法和边界条件的处理等问题.在此基础上较系统地总结了无网格法在冲击爆炸、裂纹传播、超大变形、结构优化、流固耦合、生物力学和微纳米力学等领域的应用

3、,展示了无网格法相对于传统数值方法的优势.关键词无网格法,无单元法,高速冲击,裂纹扩展,大变形1引言自动生成仍然是极具挑战力的任务.其他一些基于网格的数值方法,如有限差分法、边界元法等也有限元法是目前公认的解决科学和工程问题或多或少的存在上述问题.的最有效的数值方法之一,但它在求解某些特殊鉴于有限元、边界元等基于网格的数值方法问题时也存在固有缺陷.例如,在用拉格朗日法求的这些缺陷,国际计算力学界从20世纪90年代开解金属冲压成形、高速冲击和爆炸、裂纹动态扩始兴起了无网格法的研究热潮[1»5].与基于网格展、流固耦合、局部化等涉及特大

4、变形或需要不的有限元等方法不同,无网格法用一组点来离散断进行网格重构的问题时,有限元网格可能会产求解区域,直接借助于离散点来构造近似函数,可生严重扭曲,不仅需要网格重构,而且严重地影响以彻底或部分地消除网格,不需要网格的初始划解的精度;对高速冲击和爆炸等动态问题,显式时分和重构,不仅可以保证计算的精度,而且可以减间积分的步长取决于有限元网格的最小尺寸,因小计算的难度.然而,无网格法也存在一些固有缺而网格的扭曲将使得时间积分步长过小,大幅度陷.例如,无网格近似函数一般均很复杂,其计算量地增加了计算工作量;对裂纹动态扩展问题,裂纹较大;

5、大多数的无网格近似函数不具有插值特性,的扩展方向不能事先确定,因此在计算过程中需因此无网格法本质边界条件的施加比有限元法繁要不断地重新划分网格以模拟裂纹的动态扩展过琐.程;对于形状优化问题,也需要不断重新划分网格求解微分方程的数值方法可以分为两大类.以适应物体形状的变化;有限元近似基于网格,因第一类方法是直接求解微分方程和相应定解条件此必然难于处理与原始网格线不一致的不连续性的近似解,如有限差分法;另一类方法是首先建和大变形,同时也难于有效地处理材料的破碎和立和原微分方程及定解条件相等效的积分弱形式,熔化;另外,虽然商用有限元前后处

6、理软件得到了再在此基础上建立近似解法,如加权余量法.虽长足的发展,但大型复杂三维结构的有限元网格然无网格法的种类繁多,有30余种,但从加权余收稿日期:2008-01-15,修回日期:2008-12-23¤国家自然科学基金(10672088),新世纪优秀人才支持计划(NCET-04-0091)和计算物理实验室基金资助项目yE-mail:xzhang@tsinghua.edu.cn2力学进展2009年第39卷量法的角度来看,各类无网格法的主要区别在于在移动最小二乘近似(movingleastsquares,采用什么样的加权余量法和试探函

7、数(trialfun-MLS)[8]中,系数a(x)的选取使近似函数uh(x;x¹)ition).例如,无单元伽辽金法(elementfreeGalerkin在计算点x的邻域•x(称为计算点x的定义域)内method,EFGM)采用伽辽金法,而有限点法(¯nite是待求函数u(x)在某种最小二乘意义下的最佳近pointmethod,FPM)则采用配点(collocation)法,似.在每个节点xI处定义一个权函数(也称为窗边界节点法(boundarynodemethod),且他们都利函数)wI(x)=w(x¡xI),它只在节点xI周

8、围的一用移动最小二乘近似(movingleastsquare,MLS)来个有限区域•I(称为权函数wI(x)的支撑域或节建立试探函数.本文以加权余量法[6,7]为主线,系点x的影响域)中大于零,而在该邻域外为零.若I统地论述无网格法的