2012年江苏高考理科数学试卷

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1、2012年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学(全卷满分160分,考试时间120分钟)参考公式:棱锥的体积,其中为底面积,为高.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合,,则▲.【答案】。【考点】集合的概念和运算。【分析】由集合的并集意义得。2.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取▲名学生.【答案】15。【考点】分层抽样。【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样。将总体划分为若干个同质层,再在各层内随机抽样或机械抽样,分层抽样的特点是将科学

2、分组法与抽样法结合在一起,分组减小了各抽样层变异性的影响,抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性。因此,由知应从高二年级抽取15名学生。3.设,(i为虚数单位),则的值为▲.【答案】8。【考点】复数的运算和复数的概念。【分析】由得,所以,。4.下图是一个算法流程图,则输出的k的值是▲.【答案】5。【考点】程序框图。【分析】根据流程图所示的顺序,程序的运行过程中变量值变化如下表:是否继续循环k循环前00第一圈是10第二圈是2-2第三圈是3-2第四圈是40第五圈是54第六圈否输出5∴最终输出结果k=5。5.函数的定义域为▲.【答案】。【考点】函数的定义域,二次根式和对数函数有意义的条件,解对数不

3、等式。【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件,得。6.现有10个数,它们能构成一个以1为首项,为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是▲.【答案】。【考点】等比数列,概率。【解析】∵以1为首项,为公比的等比数列的10个数为1,-3,9,-27,···其中有5个负数,1个正数1计6个数小于8,∴从这10个数中随机抽取一个数,它小于8的概率是。7.如图,在长方体中,,,则四棱锥的体积为▲cm3.【答案】6。【考点】正方形的性质,棱锥的体积。【解析】∵长方体底面是正方形,∴△中cm,边上的高是cm(它也是中上的高)。∴四棱锥的体积为。由8.在平面直角坐标系中,若双曲

4、线的离心率为,则的值为▲.【答案】2。【考点】双曲线的性质。【解析】由得。∴,即,解得。9.如图,在矩形中,点为的中点,点在边上,若,则的值是▲.【答案】。【考点】向量的计算,矩形的性质,三角形外角性质,和的余弦公式,锐角三角函数定义。【解析】由,得,由矩形的性质,得。∵,∴,∴。∴。记之间的夹角为,则。又∵点E为BC的中点,∴。∴。本题也可建立以为坐标轴的直角坐标系,求出各点坐标后求解。10.设是定义在上且周期为2的函数,在区间上,其中.若,则的值为▲.【答案】。【考点】周期函数的性质。【解析】∵是定义在上且周期为2的函数,∴,即①。又∵,,∴②。联立①②,解得,。∴。11.设为锐角,若,

5、则的值为▲.【答案】。【考点】同角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数。【解析】∵为锐角,即,∴。∵,∴。∴。∴。∴。12.在平面直角坐标系中,圆的方程为,若直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆有公共点,则的最大值是▲.【答案】。【考点】圆与圆的位置关系,点到直线的距离【解析】∵圆C的方程可化为:,∴圆C的圆心为,半径为1。∵由题意,直线上至少存在一点,以该点为圆心,1为半径的圆与圆有公共点;∴存在,使得成立,即。∵即为点到直线的距离,∴,解得。∴的最大值是。13.已知函数的值域为,若关于x的不等式的解集为,则实数c的值为▲.【答案】9。【考点】函数的值域,不等式的解集。【

6、解析】由值域为,当时有,即,∴。∴解得,。∵不等式的解集为,∴,解得。14.已知正数满足:则的取值范围是▲.【答案】。【考点】可行域。【解析】条件可化为:。设,则题目转化为:已知满足,求的取值范围。作出()所在平面区域(如图)。求出的切线的斜率,设过切点的切线为,则,要使它最小,须。∴的最小值在处,为。此时,点在上之间。当()对应点时,,∴的最大值在处,为7。∴的取值范围为,即的取值范围是。二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(14分)在中,已知.(1)求证:;(2)若求A的值.【答案】解:(1)∵,∴,即。由正弦

7、定理,得,∴。又∵,∴。∴即。(2)∵,∴。∴。∴,即。∴。由(1),得,解得。∵,∴。∴。【考点】平面微量的数量积,三角函数的基本关系式,两角和的正切公式,解三角形。【解析】(1)先将表示成数量积,再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。(2)由可求,由三角形三角关系,得到,从而根据两角和的正切公式和(1)的结论即可求得A的值。16.(14分)如图,在直三棱柱中,,分别是棱上的点(点不同于点),且为的中点.

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