材料力学-弯曲变形

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1、第六章弯曲变形材料力学§6–1概述§6–2梁的挠曲线近似微分方程及其积分§6–3按叠加原理求梁的挠度与转角§6–4梁的刚度校核第六章弯曲变形§6–5简单超静定梁的求解方法§6–6如何提高梁的承载能力作业§6－１概述弯曲变形研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。研究目的：①对梁作刚度校核；②解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用v表示。与f同向为正，反之为负。2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用表示，逆时针转动为正，反之为负。二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。其方

2、程为：v=f(x)三、转角与挠曲线的关系：弯曲变形一、度量梁变形的两个基本位移量小变形PxvCqC1f§6-2梁的挠曲线近似微分方程及其积分一、挠曲线近似微分方程式（2）就是挠曲线近似微分方程。xf)(=---¢¢（2）弯曲变形小变形fxM<0fxM>0X)()(xMxfEI=¢¢对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：二、求挠曲线方程（弹性曲线）)()(xMxfEI=¢¢1d))(()(CxxMxfEI+=¢ò21d)d))((()(CxCxxxMxEIf++=òò1.微分方程的积分弯曲变形2.位移边界条件PABCPD讨论：①

3、适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条件）确定。④优点：使用范围广，直接求出较精确；缺点：计算较繁。支点位移条件：连续条件：光滑条件：弯曲变形例1求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。建立坐标系并写出弯矩方程写出微分方程的积分并积分应用位移边界条件求积分常数)(¢2¢弯曲变形解：PLxf2¢P=+f61CEIf1fEI=PxPLx-==xMEIX=0时，f写出弹性曲线转角方程并画出曲线最大挠度及

4、最大转角弯曲变形xfPL例6—2均布q，求qL例6—3求梁解：建立坐标系并写出弯矩方程写出微分方程的积分并积分弯曲变形xfPLa应用位移边界条件求积分常数弯曲变形PLaxf写出弹性曲线方程并画出曲线最大挠度及最大转角弯曲变形PLaxf§6-3按叠加原理求梁的挠度与转角一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。二、结构形式叠加（逐段刚化法）：弯曲变形例4按叠加原理求A点转角和C点挠度。解、载荷分解如图由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。弯曲变形qqPP=+AAAB

5、BBCaa弯曲变形qqPP=+AAABBBCaa叠加例5按叠加原理求C点挠度。解：载荷无限分解如图由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。叠加弯曲变形q00.5L0.5LxdxbxfC例6结构形式叠加（逐段刚化法)原理说明。=+弯曲变形PL1L2ABCBCPL2f1f2等价等价xfxffPL1L2ABC刚化AC段PL1L2ABC刚化BC段PL1L2ABCMxf§6-4梁的刚度校核一、梁的刚度条件其中[]称为许用转角；[f/L]称为许用挠跨比。通常依此条件进行如下三种刚度计算：、校核刚度：、设计截面尺寸；、设计载荷。弯曲变

6、形(但：对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度常处于从属地位。特殊构件例外）PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNB例7下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的E=210GPa，工程规定C点的[f/L]=0.00001,B点的[]=0.001弧度,试核此杆的刚度。=++=弯曲变形P1=1kNABDCP2BCDAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAMP2BCa=++图1图2图3解：结构变换，查表求简单载荷变形。弯曲变形PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1

7、=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxfP2BCa=++图1图2图3弯曲变形PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxf叠加求复杂载荷下的变形校核刚度弯曲变形§6-5简单超静定梁的求解方法1、处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方程相结合，求全部未知力。解：建立静定基确定超静定次数，用反力代替多余约束所得到的结构——静定基。=弯曲变形q0LABLq0MABAq0LRBABxf几何方程——变形协调方程+弯曲变形q0LRBAB=RBABq0AB物理方程——变形与

8、力的关系补充方程求解其它问题（反力、应力、变形等）几何方程——变形协调方程：解：建立静定基=例8结构如图，求B点反力。LBC弯曲变形xfq0LRBABCq0LRBAB=